МКТ, механическое равновесие

1. Давление $p_1$ на глубине $H$ равно сумме атмосферного и гидростатического давлений: $$p_1=p_0+\rho g H,$$ где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, $p_0$ — атмосферное давление.

2. Для глубины $h$ аналогично: $$p_2=p_0+\rho g h.$$

3. Воздух в пузырьке считаем идеальным; при медленном подъёме температура постоянна, поэтому выполняется закон Бойля–Мариотта: $$p_1 V_1=p_2 V_2.$$

Подставляя выражения для $p_1$ и $p_2$, получаем формулу для объёма пузырька на глубине $h$: $$V_2=V_1\,\frac{p_0+\rho g H}{p_0+\rho g h}.$$

Подставляя численные значения из условия и табличные $g$ и $p_0$: $$V_2=\frac{10^{5}+10^{3}\cdot 10\cdot 20}{10^{5}+10^{3}\cdot 10\cdot 1}\cdot 10^{-9}\ \text{м}^3\ \approx 2{,}7~\text{мм}^3.$$ Ответ: $V_2 \approx 2{,}7~\text{мм}^3.$

1. Когда трубка расположена горизонтально, давление воздуха слева от ртутного столбика уравновешивается атмосферным: $$p_1=p_{\text{атм}}.$$ Объём воздуха равен $V_1=l_1 S$, где $S$ — площадь поперечного сечения трубки.

2. Если трубку поставить вертикально отверстием вниз, то давление в закрытой части уменьшится на гидростатическую добавку столбика ртути: $$p_2=p_{\text{атм}}-\rho g l,$$ а объём, занимаемый воздухом, возрастёт до $V_2=l_2 S$.

3. При постоянной температуре для воздуха справедлив закон Бойля–Мариотта: $$p_1 V_1=p_2 V_2.$$ Следовательно, $$p_{\text{атм}}\,l_1 S=\bigl(p_{\text{атм}}-\rho g l\bigr)\,l_2 S.$$ Отсюда, учитывая, что $p_{\text{атм}}=\rho g l_0$ и $l_0=747~\text{мм}$, $$l=\frac{p_{\text{атм}}(l_2-l_1)}{\rho g\,l_2} =\frac{0{,}747\,(0{,}432-0{,}307)}{0{,}432}\ \text{м} \approx 0{,}216~\text{м}=21{,}6~\text{см}.$$

Ответ: $l=21{,}6~\text{см}.$

Условие начала подъёма: сила Архимеда не меньше суммарного веса оболочки и воздуха внутри, $$F_{\text{арх}}\ge Mg+mg,$$ или, в плотностях, $$\rho_0 g V \ge Mg+\rho g V \ \Rightarrow\ \rho_0 V \ge M+\rho V,$$ где $\rho_0$ — плотность наружного воздуха, $\rho$ — плотность воздуха внутри оболочки, $V$ — объём шара.

Для воздуха внутри шара, при равенстве давлений снаружи и внутри, $$\frac{pV}{T}=\frac{m}{\mu}R \quad\Rightarrow\quad \frac{m}{V}=\rho=\frac{p\,\mu}{R\,T},$$ где $p$ — атмосферное давление, $T$ — температура внутри шара, $\mu$ — молярная масса воздуха, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Соответственно, плотность окружающего воздуха: $$\rho_0=\frac{\mu p}{R T_0},$$ где $T_0$ — температура внешнего воздуха.

Подставляя в условие подъёма, $$\frac{p\,\mu\,V}{R\,T_0}\ge M+\frac{p\,\mu\,V}{R\,T} \ \Rightarrow\ \frac{p\,\mu\,V}{R}\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}\right)\ge M \ \Rightarrow\ \frac{1}{T_0}=\frac{1}{T}+\frac{M R}{p\,\mu\,V}.$$

Отсюда максимальная температура внешнего воздуха, $$T_{0,\max}=\frac{\mu p\,V\,T}{\mu p\,V+M R\,T}.$$

Подстановка чисел (в СИ): $\mu=29\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}$, $p=10^{5}\ \text{Па}$, $V=230\ \text{м}^3$, $T=265+273=538\ \text{К}$, $M=145\ \text{кг}$, $R=8{,}31\ \text{Дж/(моль К)}$: $$T_{0,\max}=\frac{29\cdot 10^{-3}\cdot 10^{5}\cdot 230\cdot 538} {29\cdot 10^{-3}\cdot 10^{5}\cdot 230+145\cdot 8{,}31\cdot 538} \approx 273\ \text{К}.$$

Следовательно, $$T_{0,\max}\approx 273~\text{К}\ \ (\approx 0~^\circ\text{C}).$$ Ответ: $T_{0,\max}\approx 273~\text{К}\ \ (\approx 0~^\circ\text{C}).$

Для начала рассмотрим силы, которые действует на шар, а именно на тело действует выталкивающая сила (сила Архимеда), силя тяжести шара, груза и гелия. Для удобства обозначим массу гелия, груза и оболочки за $M=m_\text{об}+m_\text{г}+m_\text{гр}+m_\text{п}+\Delta m_\text{г}$. Тогда подъемная сила $F_\text{под}$ будет равна: $$F_\text{под}=F_\text{А}-Mg$$ Стоит рассмотреть силу Архимеда $F_\text{А}=\rho_\text{воз}gV$, где $\rho_\text{воз}$ – плотность воздуха, $V$ – объём шара. Чтобы найти плотность воздуха запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:
$$pV_\text{воз}=\nu_\text{воз} RT=\frac{m_\text{воз}}{M_\text{воз}}RT\Rightarrow p=\frac{\rho_\text{воз}RT}{M_\text{воз}}\Rightarrow \rho_\text{воз}=\frac{pM_\text{воз}}{RT}$$ где $p$ – давление воздуха, которое будет равно атмосферному давлению и будет равна давлению гелия в шаре, $T$ – температура воздуха, равная температуре гелия в шаре.
Теперь запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для гелия: $$pV=\frac{(m_\text{г}+\Delta m_\text{г})RT}{M_\text{г}}\Rightarrow V=\frac{(m_\text{г}+\Delta m_\text{г})RT}{pM_\text{г}}$$ Тогда рассмотрим подъемную силу шара:
$$F_\text{под}=F_\text{А}-Mg=g\left(\rho_\text{воз}V-M\right)=g\left(\frac{(m_\text{г}+\Delta m_\text{г})RT}{pM_\text{г}}\cdot\frac{pM_\text{воз}}{RT}-M\right)=g\left(\frac{(m_\text{г}+\Delta m_\text{г})M_\text{воз}}{M_\text{г}}-M\right)$$ Тогда если, чтобы шар поднялся с ещё одним пассажира массой $m_\text{п}$ подъемная сила должна быть не отрицательной $F_\text{под}\geqslant0$, т.е. минимальное условие для полёта шара равно $F_\text{под}=0$, тогда должно выполнятся соотношение:
$$\frac{(m_\text{г}+\Delta m_\text{г})M_\text{воз}}{M_\text{г}}=M$$ Откуда находим минимальную массу гелия, который нужно добавить в шар:
$$\Delta m_\text{г}=\left(M-\frac{m_\text{г}M_\text{воз}}{M_\text{г}}\right)\cdot\left(\frac{M_\text{воз}}{M_\text{г}}-1\right)^{-1}=\left(m_\text{об}+m_\text{г}+m_\text{гр}+m_\text{п}-\frac{m_\text{г}M_\text{воз}}{M_\text{г}}\right)\cdot\left(\frac{M_\text{воз}}{M_\text{г}}-1\right)^{-1}=$$ $$=\left(400+100+225+50-\frac{100\cdot 29\cdot 10^{-3}}{4\cdot 10^{-3}}\right)\cdot\left(\frac{29\cdot 10^{-3}}{4\cdot 10^{-3}}-1\right)^{-1}=8\,\text{кг}$$

Ответ: 8 кг.

Для начала найдём массу каждого газа по отдельности, зная что масса смеси газов равна $m=m_\text{в}+m_\text{г}$: $$m_\text{в}=\frac{m}{2.5}=1.6\,\text{г}$$ $$m_\text{г}=m-m_\text{в}=4-1.6=2.4\,\text{г}$$ Тогда запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для каждого газа, откуда выразим давление газа:
$$pV=\frac{mRT}{M}\Rightarrow p=\frac{mRT}{VM}$$ Тогда парциальное давление газа будет равно:
$$p_\text{г}=\frac{m_\text{г}RT}{VM_\text{г}}$$ $$p_\text{в}=\frac{m_\text{в}RT}{VM_\text{в}}$$ Тогда по закону Дальтона давление смеси газов:
$$p=p_\text{г}+p_\text{в}=\frac{m_\text{г}RT}{VM_\text{г}}+\frac{m_\text{в}RT}{VM_\text{в}}=\frac{RT}{V}\left(\frac{m_\text{г}}{M_\text{г}}+\frac{m_\text{в}}{M_\text{в}}\right)$$ Откуда выразим искомый объём сосуда: $$V=\frac{RT}{p}\left(\frac{m_\text{г}}{M_\text{г}}+\frac{m_\text{в}}{M_\text{в}}\right)=\frac{8.31\cdot300}{2\cdot10^5}\left(\frac{2.4}{4}+\frac{1.6}{2}\right)\approx0.0175\,\text{м}^3$$ Ответ: $V \approx0.0175\,\text{м}^3$