Тип 26 № 12531

Обоснование

Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной

Шайба рассматривается как материальная точка, поскольку её размеры малы по сравнению с радиусом кольца, а вращением самой шайбы можно пренебречь.​

На шайбу действует только сила тяжести и нормальная реакция опоры. Кольцо идеальное (гладкое), трения нет, сопротивление воздуха также не учитывается, поэтому работа непотенциальных сил отсутствует. Это позволяет применить закон сохранения механической энергии при движении шайбы по кольцу.​

В момент отрыва шайбы от поверхности кольца нормальная реакция опоры становится равной нулю, а центростремительное ускорение обеспечивается только компонентой силы тяжести. Поэтому для определения скорости отрыва и высоты используются законы механики для движения по окружности и второй закон Ньютона

1. На высоте $h$ в момент отрыва скорость шайбы равна $u$. По закону сохранения механической энергии между нижней точкой и высотой $h$: $$E_{\text{мех}}=\frac{m v^{2}}{2}=\frac{m u^{2}}{2}+m g h.$$

2. При этой скорости центростремительное ускорение в инерциальной системе $Oxy$, связанной с Землёй, равно $$a_{\text{цс}}=\frac{u^{2}}{R}.$$

3. В момент отрыва нормальная реакция опоры равна нулю; значит центростремительное ускорение создаётся только радиальной составляющей тяжести. По второму закону Ньютона: $$m a_{\text{цс}}=m g \sin\alpha,$$ где $\alpha$ — угол радиуса к вертикали.

4. Учитывая геометрию точки отрыва $\sin\alpha=\dfrac{h-R}{R}$, исключим $a_{\text{цс}}$ и $u$. Получим: $$\frac{m v^{2}}{2}=\frac{m g}{2}\,(h-R)+m g h =\frac{m g}{2}\,(3h-R).$$ Следовательно начальная кинетическая энергия внизу $$E_{\text{кин}}=\frac{m v^{2}}{2}=\frac{m g}{2}\,(3h-R).$$

Подстановка чисел со страницы: $m=0{,}01\ \text{кг}$, $g=10\ \text{м/с}^2$, $h=0{,}18\ \text{м}$, $R=0{,}14\ \text{м}$: $$E_{\text{кин}}=\frac{0{,}01\cdot 10}{2}\,(3\cdot 0{,}18-0{,}14) =0{,}5\,(0{,}54-0{,}14)=0{,}5\cdot 0{,}40=0{,}20/10=0{,}02\ \text{Дж}.$$