Тип 26 № 12533

Обоснование.

1. Система отсчёта связана с Землёй и считается инерциальной; тела можно рассматривать как материальные точки, так как их размеры малы по сравнению с длиной нити.

2. При соударении «пуля — тело» применим закон сохранения импульса по горизонтали: внешние силы (вес и реакция опоры) вертикальны.

3. Движение составного тела от вершины полусферы описываем законом сохранения механической энергии: полусфера гладкая, работа силы нормальной реакции равна нулю.

4. В момент отрыва реакция опоры $N$ становится нулевой.

5. Второй закон Ньютона используем в ИСО для модели материальной точки.

1. Закон импульса при ударе связывает скорость пули $v_0$ со скоростью составного тела сразу после удара: $$m v_0 = (m+M) v_1.$$

Закон сохранения энергии связывает скорость составного тела сразу после удара с его скоростью в момент отрыва от полусферы: $$\frac{(m+M) v_1^2}{2} + (m+M) g R = \frac{(m+M) v_2^2}{2} + (m+M) g R \cos\alpha,$$ где $v_2$ — скорость составного тела в момент отрыва, а $h = R \cos\alpha$ — высота точки отрыва.

1. Второй закон Ньютона по радиусу (к центру полусферы) в момент отрыва: $$(m+M) g \cos\alpha = \frac{(m+M) v_2^2}{R}.$$

2. Объединяя уравнения, получаем: $$\frac{v_1^2}{2} + g R = \frac{3}{2} g h.$$ Отсюда $$h = \frac{1}{3 g}\!\left(\frac{m v_0}{m+M}\right)^2 + \frac{2}{3} R.$$

Подстановка чисел $m=0{,}01~\text{кг}$, $M=0{,}99~\text{кг}$, $v_0=200~\text{м/с}$, $R=1{,}0~\text{м}$, $g=10~\text{м/с}^2$ даёт: $$h = \frac{1}{3\cdot 10}\!\left(\frac{0{,}01\cdot 200}{0{,}99+0{,}01}\right)^2 + \frac{2}{3}\cdot 1 = 0{,}8~\text{м}.$$