Тип 26 № 12546

Обоснование:
Систему координат, соотнесённую с Землёй, примем инерциальной, а поступательно движущийся шарик рассмотрим как материальную точку.

Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, движение до столкновения происходит в однородном поле тяжести Земли, что позволяет применять закон сохранения механической энергии.

При ударе о доску модуль скорости шарика не изменился, значит, столкновение можно считать абсолютно упругим, а угол отражения равен углу падения.

После отскока на шарик действует только сила тяжести, поэтому его дальнейшее движение происходит с ускорением свободного падения.

1. Модуль скорости $v_0$ непосредственно перед ударом на высоте $h$ получаем из сохранения механической энергии между уровнями $H$ и $h$: $$m g (H-h)=\frac{m v_0^2}{2}.$$

2. При абсолютно упругом ударе модуль скорости не меняется, меняется только направление. Угол падения равен углу отражения, поэтому траектория после удара наклонена под углом $\beta=90^\circ-2\alpha$ к горизонту (см. рисунок). Максимальный приращённый подъём шарика относительно точки удара равен $$\Delta h=\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{v_0^2 \sin^2\beta}{2g}.$$

3. Относительно уровня земли конечная наибольшая высота равна $$h_1=h+\frac{v_0^2\sin^2\beta}{2g} = h + (H-h)\,\sin^2(90^\circ-2\alpha) = h + (H-h)\cos^2 2\alpha.$$ Следовательно, $$\cos 2\alpha=\sqrt{\frac{h_1-h}{H-h}}=\sqrt{\frac{0{,}25}{1}}=0{,}5,$$ откуда $2\alpha=60^\circ$ и, значит, $\alpha=30^\circ$.