Тип 26 № 12547

Обоснование.

1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, принимаем инерциальной; тела рассматриваем как материальные точки.

2. Взаимодействие пули и шара описываем законом сохранения импульса системы тел. Он справедлив в ИСО, если сумма внешних сил, проекций на горизонтальную ось в момент удара, равна нулю. В данной задаче веса и натяжение нити не дают вклада в проекцию на горизонталь, поэтому применим сохранение импульса по этой оси.

3. Для дальнейшего движения системы «шар с застрявшей пулей» используем закон сохранения механической энергии: сопротивлением воздуха пренебрегаем, а единственная не потенциальная сила — натяжение нити — работы не совершает на дуге окружности, так как направлена перпендикулярно скорости.

4. Минимальность начальной скорости пули $v_0$ означает, что шар сделает полный оборот в вертикальной плоскости, причём натяжение нити в верхней точке пути обращается в нуль.

Решение.

1. Закон импульса связывает скорость пули $v_0$ до удара со скоростью $v_1$ составного тела массы $m+M$ сразу после удара: $$m v_0=(m+M) v_1.$$ Закон сохранения энергии для движения составного тела от низа до верхней точки (скорость $v_2$ вверху): $$\frac{(m+M) v_1^2}{2}=\frac{(m+M) v_2^2}{2}+(m+M) g \cdot 2l.$$

2. Во второй (верхней) точке по оси, направленной к центру, второй закон Ньютона даёт условие минимума скорости при натяжении нити ноль: $$(m+M) g=\frac{(m+M) v_2^2}{l}.$$ Отсюда $v_2^2=g l$. Подставляя в уравнение энергии, получаем $$v_1^2=5 g l.$$

3. Из закона импульса выражаем массу пули: $$m=\frac{M\sqrt{5 g l}}{v_0-\sqrt{5 g l}}.$$ Подстановка чисел $M=0{,}23~\text{кг}$, $l=0{,}5~\text{м}$, $v_0=120~\text{м/с}$, $g=10~\text{м/с}^2$ даёт $$m=\frac{0{,}23\sqrt{5\cdot 10\cdot 0{,}5}}{120-\sqrt{5\cdot 10\cdot 0{,}5}} \approx 0{,}01~\text{кг}.$$