Задание 24: МКТ, механическое равновесие — ЕГЭ по физике

Общая масса газонепроницаемой оболочки воздушного шара и его корзины равна 400 кг. Шар заполнен гелием массой 100 кг. Он может поднять в воздух груз массой 225 кг. Какую минимальную массу гелия нужно добавить в оболочку шара, чтобы шар поднял еще одного пассажира массой 50 кг? Считать, что оболочка шара не оказывает сопротивления изменению его объема, воздушных течений в вертикальном направлении нет. Температура и давление гелия внутри шара и воздуха снаружи шара соответственно одинаковы.

Решение:

Для начала рассмотрим силы, которые действует на шар, а именно на тело действует выталкивающая сила (сила Архимеда), силя тяжести шара, груза и гелия. Для удобства обозначим массу гелия, груза и оболочки за $M=m_\text{об}+m_\text{г}+m_\text{гр}+m_\text{п}+\Delta m_\text{г}$ . Тогда подъемная сила $F_\text{под}$ будет равна: $F_\text{под}=F_\text{А}-Mg$ Стоит рассмотреть силу Архимеда $F_\text{А}=\rho_\text{воз}gV$ , где $\rho_\text{воз}$ – плотность воздуха, $V$ – объём шара. Чтобы найти плотность воздуха запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:
$pV_\text{воз}=\nu_\text{воз} RT=\frac{m_\text{воз}}{M_\text{воз}}RT\Rightarrow p=\frac{\rho_\text{воз}RT}{M_\text{воз}}\Rightarrow \rho_\text{воз}=\frac{pM_\text{воз}}{RT}$ где $p$ – давление воздуха, которое будет равно атмосферному давлению и будет равна давлению гелия в шаре, $T$ – температура воздуха, равная температуре гелия в шаре.
Теперь запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для гелия: $pV=\frac{(m_\text{г}+\Delta m_\text{г})RT}{M_\text{г}}\Rightarrow V=\frac{(m_\text{г}+\Delta m_\text{г})RT}{pM_\text{г}}$ Тогда рассмотрим подъемную силу шара:
$F_\text{под}=F_\text{А}-Mg=g\left(\rho_\text{воз}V-M\right)=g\left(\frac{(m_\text{г}+\Delta m_\text{г})RT}{pM_\text{г}}\cdot\frac{pM_\text{воз}}{RT}-M\right)=g\left(\frac{(m_\text{г}+\Delta m_\text{г})M_\text{воз}}{M_\text{г}}-M\right)$ Тогда если, чтобы шар поднялся с ещё одним пассажира массой $m_\text{п}$ подъемная сила должна быть не отрицательной $F_\text{под}\geqslant0$ , т.е. минимальное условие для полёта шара равно $F_\text{под}=0$ , тогда должно выполнятся соотношение:
$\frac{(m_\text{г}+\Delta m_\text{г})M_\text{воз}}{M_\text{г}}=M$ Откуда находим минимальную массу гелия, который нужно добавить в шар:
$\Delta m_\text{г}=\left(M-\frac{m_\text{г}M_\text{воз}}{M_\text{г}}\right)\cdot\left(\frac{M_\text{воз}}{M_\text{г}}-1\right)^{-1}=\left(m_\text{об}+m_\text{г}+m_\text{гр}+m_\text{п}-\frac{m_\text{г}M_\text{воз}}{M_\text{г}}\right)\cdot\left(\frac{M_\text{воз}}{M_\text{г}}-1\right)^{-1}=$ $=\left(400+100+225+50-\frac{100\cdot 29\cdot 10^{-3}}{4\cdot 10^{-3}}\right)\cdot\left(\frac{29\cdot 10^{-3}}{4\cdot 10^{-3}}-1\right)^{-1}=8\,\text{кг}$

Ответ: 8 кг.