Тип 24 № 13267

Для решения задачи заметим, что при температуре в сосуде равной $100^\circ C$ давление насыщенного водяного пара равно нормальному атмосферному давлению $p_\text{н.п.}=p_0=10^5$ Па.
Рассмотрим первый случай, тогда на невесомый поршень снаружи будет действовать атмосферное давление, а изнутри — смесь водяного пара $p_\text{п}$ и сухого воздуха $p_\text{с1}$ и по закону Дальтона суммарное давление равно $p_1=p_\text{п}+p_\text{с1}$, и так как поршень находится в равновесии, то внутреннее давление равно атмосферному $p_1=p_0$. Так же из формулы относительной влажности воздуха можем найти давление водяного пара, т.е. $p_\text{п}=\varphi p_\text{н.п.}=\varphi p_0$, тогда получаем уравнение:
$$p_0=\varphi p_0+p_\text{с1}\Rightarrow p_\text{с1}=p_0(1-\varphi)$$ Рассмотрим, что будет происходить при насыпании песка на поршень: очевидно, что давление газа будет изменятся. Также, так как на стенках сосуда выпала роса, то значит пар стал насыщенным, тогда так как в конечной точке поршень находится в равновесии, то выполняется условие равновесия:
$$p_0+\frac{m_\text{п}g}{S}=p_2$$ Где $m_\text{п}$ – масса песка, $S$ – площадь поперечного сечения цилиндра. С другой стороны по закону Дальтона:
$$p_2=p_\text{н.п.}+p_\text{с2}=p_0+p_\text{с2}$$ Далее будем считать, что к сухому воздуху можно применять модель идеального газа, тогда будем считать процесс сжатия газа изотермическим, тогда справедливо соотношение $p_\text{с1}V_1=p_\text{с2}V_2\Rightarrow p_\text{с2}=6p_\text{с1}$ Объединяя все уравнения получим:
$$p_0+6p_\text{с1}=p_0+\frac{m_\text{п}g}{S}$$ $$\frac{m_\text{п}g}{S}=6p_\text{с1}$$ $$m_\text{п}g=6p_0(1-\varphi)S \tag{1}$$ Далее запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для начального и конечного состояния: $$\varphi p_0V_1=\frac{m_1}{M}RT \quad\quad p_0V_2=\frac{m_2}{M}RT$$ Где $m_1$ и $m_2$ – массы водяных паров в начальном и конечном состоянии соответственно.Так же можем записать уравнения для объёма $V_1=SH$, $V_2=SH/6$, подставляя эти выражения выразим массы паров:
$$m_1 = \frac{\varphi p_0 SHM}{RT} \quad\quad m_2 = \frac{p_0 SHM}{6RT}$$ Тогда масса сконденсированной в виде росы воды равна:
$$m=m_1-m_2=\frac{\varphi p_0 SHM}{RT} - \frac{p_0 SHM}{6RT} = \frac{p_0 SHM (6\varphi - 1)}{6RT} \tag{2}$$ И объединяя уравнения (1) и (2), находим массу песка:

$$m_\text{п} = \frac{36 m RT (1 - \varphi)}{HMg (6\varphi - 1)} = \frac{36 \cdot 2 \cdot 10^{-4} \cdot 8{,}31 \cdot 373 \cdot (1 - 0{,}2)} {10 \cdot 18 \cdot 10^{-3} \cdot 2 \cdot (6 \cdot 0{,}2 - 1)} \approx 248~\text{кг}.$$

Ответ: $\approx 248~\text{кг}.$