Тип 24 № 13271

Для решения задачи разберёмся, какие силы действуют на шар, а именно это сила Архимеда $F_A=\rho_0gV$, направленная вверх, сила тяжести действующая на воздух внутри шара $F_\text{т.0}=m_0g$ и направленная вниз, и сила тяжести действующая на оболочку и груз $F_\text{т.груз.}=(m+M)g$, так же направленная вниз. Тогда по второму закону Ньютона в проекции на вертикальную ось:
$$F_A=mg+Mg+m_0g$$ Таким образом условие подъёма шара имеет вид:
$$F_A\geq mg+Mg+m_0g$$ Далее представим $m_0=\rho V$, где $\rho$ – плотность воздуха внутри оболочки, тогда получим неравенство:
$$\rho_0V\geq m+M+\rho V \tag{1}$$ Далее запишем уравнение Менделеева-Клапейрона и преобразуем его:
$$pV=\frac{m}{\mu}RT\Rightarrow p=\frac{\rho}{\mu}RT$$ Тогда теперь запишем его для воздуха снаружи шара и внутри него:
$$p=\frac{\rho_0}{\mu}RT_0 \quad\quad p=\frac{\rho}{\mu}RT$$ $$\Downarrow$$ $$\rho=\frac{T_0}{T}\rho_0$$ Подставим получившееся выражение в неравенство (1) и получим:
$$\rho_0V\geq m+M+\frac{T_0}{T}\rho_0 V$$ Откуда можем выразить искомый минимальный объём шара:
$$V = \frac{(m + M) T}{\rho_0 (T - T_0)} = \frac{(400 + 200) \cdot 348}{1.2 \cdot (348 - 273)} \approx 2320~\text{м}^3.$$

Ответ: $V \approx 2320~\text{м}^3.$