Тип 24 № 13273

Для решения задачи разберёмся, какие силы действуют на шар, а именно это сила Архимеда $F_A=\rho_0gV$, направленная вверх, сила тяжести действующая на воздух внутри шара $F_\text{т.0}=m_0g$ и направленная вниз, и сила тяжести действующая на оболочку $F_\text{т.об.}=Mg$, так же направленная вниз. Тогда по второму закону Ньютона в проекции на вертикальную ось:
$$F_A=Mg+m_0g$$ Таким образом условие подъёма шара имеет вид:
$$F_A\geq Mg+m_0g$$ Далее представим $m_0=\rho V$, где $\rho$ – плотность воздуха внутри оболочки, тогда получим неравенство:
$$\rho_0V\geq M+\rho V \tag{1}$$ Далее запишем уравнение Менделеева-Клапейрона и преобразуем его:
$$pV=\frac{m}{\mu}RT\Rightarrow p=\frac{\rho}{\mu}RT\Rightarrow \rho=\frac{p\mu}{RT}$$ Тогда теперь запишем выражение для плотности воздуха снаружи шара и внутри него:
$$\rho_0=\frac{p\mu}{RT_0} \quad\quad \rho=\frac{p\mu}{RT}$$ Подставим получившееся выражение в неравенство (1) и получим:
$$\frac{p\mu V}{RT_0}\geq M+\frac{p\mu V}{RT}$$ Откуда можем выразить искомую массу оболочки:
$$M=\frac{p\mu V(T-T_0)}{RTT_0} = \frac{10^5\cdot230\cdot29\cdot10^{-3}\cdot265}{8.31\cdot273\cdot538} \approx 145~\text{кг}.$$ Ответ: $M \approx 145~\text{кг}.$