Задание 26: Законы сохранения — ЕГЭ по физике

Система из грузов m и M и связывающей их легкой нерастяжимой нити в начальный момент покоится в вертикальной плоскости, проходящей через центр закрепленной сферы. Груз m находится в точке А на вершине сферы (см.рис.). В ходе возникшего движения груз m отрывается от поверхности сферы, пройдя по ней дугу 30°. Найдите массу m, если М = 100 г. Размеры груза m ничтожно малы по сравнению с радиусом сферы. Трением пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы.

Какие законы Вы использовали для описания движения тел? Обоснуйте их применимость к данному случаю.

Решение:

Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
Размеры грузов малы по сравнению с радиусом сферы, поэтому опишем их моделью материальной точки.
На рисунке рассматривается момент скольжения груза m по сфере. На грузы действуют потенциальные силы тяжести $m\vec{g}$ и $M\vec{g}$ , непотенциальные силы натяжения нити $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$ , а также непотенциальная сила реакции опоры $\vec{N}$
Нить легкая, трения нет, поэтому $T_1=T_2=T$ . Причем сила $T_1$ сонаправлена со скоростью $v_1$ груза m, а сила $T_2$ - противоположно скорости $v_2$ груза M
Нить нерастяжима, поэтому в один и тот же момент времени модули скоростей грузов равны. Суммарная работа сил натяжения нити при переходе из одного состояния в другое равна нулю, сила реакции опоры в каждой точке траектории перпендикулярна скорости $v_1$ груза m, поэтому ее работа равна нулю. Таким образом, работа всех непотенциальных сил равна нулю, поэтому выполняется закон сохранения энергии для системы грузов.
Грузы описываются моделью материальной точки, условие отрыва тела m от поверхности сферы формируется из 2 закона Ньютона. Сила реакции опоры становится равной нулю в момент отрыва.

Перейдем к решению задачи. Запишем закон сохранения энергии для системы грузов $E_{\text{п1}}+E_{\text{п2}}=E_{\text{к}}+E_{\text{п3}}+E_{\text{п4}}$ За нулевой уровень энергии принят центр сферы. Распишем все энергии $E_{\text{п1}} = mgR$ $E_{\text{п2}} = Mg(-h_0)$ $E_{\text{п3}} = mgh_1 = mgRcos(\alpha)$ $E_{\text{п4}} = Mg(-h)$ $E_{\text{к}} = \frac{(m+M)v^2}{2}$ Тогда $mgR+Mg(-h_0)=mgRcos(\alpha) +Mg(-h)+\frac{(m+M)v^2}{2}$ Путь, который прошел 2 груз равен пути, который прошел первый груз. Первый груз прошел путь по дуге окружности равный $h-h_0=\frac{\pi}{6}R$
Тогда $v^2 = \frac{2gR\left(m(1 - \cos\alpha) + M\frac{\pi}{6}\right)}{m + M}.$ Запишем 2 закон Ньютона в момент отрыва груза m от поверхности $\vec{T_1}+m\vec{g}=m\vec{a}$ $a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{R}$ Спроецируем на ось, сонаправленную с центростремительным ускорением $m\frac{v^2}{R}=mgcos(\alpha)$ Подставим сюда выражение вместо $v^2$ $\frac{2g\left(m(1 - \cos\alpha) + M\frac{\pi}{6}\right)}{m + M}=gcos(\alpha)$ $2\left(m(1 - \cos\alpha) + M\frac{\pi}{6}\right)=(M+m)cos(\alpha)$ $2m-3mcos(\alpha)+M\frac{\pi}{3}=Mcos(\alpha)$ $m = \frac{Mcos(\alpha)-M\frac{\pi}{3}}{2-3cos(\alpha)}=\frac{0.1\cdot cos(30^\circ)-0.1\cdot\frac{\pi}{3}}{2-3cos(30^\circ)}=30 \text{г}$ Ответ: 30г