Тип 25 № 19555

При колебаниях маятника максимальная скорость груза $v$ может быть определена из закона сохранения энергии:

$$\frac{mv^2}{2}=mgh,$$ где $h=l(1-\cos\alpha)=2l\sin^2\frac{\alpha}{2}\approx \frac{l\alpha^2}{2}$, максимальная высота подъема груза. Максимальный угол отклонения

$$\alpha=\frac{A}{l},$$ где $A$ — амплитуда колебаний (амплитуда смещения). Отсюда

$$A=v\sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Амплитуда $A_1$ колебаний смещения изображения груза на экране, расположенном на расстоянии $b$ от плоскости тонкой линзы, пропорциональна амплитуде $A$ колебаний груза, движущегося на расстоянии $a$ от плоскости линзы, то есть $$A_1=A\frac{b}{a}.$$

Расстояние $a$ определяется по формуле тонкой линзы: $$\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b},$$ откуда $$a=b\frac{F}{b-F}\quad \text{и}\quad \frac{b}{a}=\frac{b}{F}-1.$$ Следовательно, $$A_1=A\frac{b}{a}=v_M\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot \left(\frac{b}{F}-1\right).$$

Отсюда: $$l=g\left(\frac{A_1F}{v(b-F)}\right)^{2}\approx 4{,}4\ \text{м}.$$

Ответ: $l\approx 4{,}4$ м.