Оптика

1. Построим изображение точки-источника линзой. Пусть в некоторый момент источник находится в точке $A$, а его изображение — в точке $A_1$. Обозначим: радиус траектории источника $r=AB$, радиус траектории изображения $R=A_1B_1$, расстояние от оптического центра до плоскости движения источника $OB=d$, расстояние $OB_1=f$ и фокусное расстояние $OF=F$.

2. Из уравнения тонкой линзы $$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$ при $d=\frac{3}{2}F$ получаем $f=3F$.

3. По подобию треугольников $AOB$ и $A_1OB_1$ следует связь радиусов: $$\frac{d}{f}=\frac{r}{R}\quad\Rightarrow\quad \frac{r}{R}=\frac{1}{2}.$$

4. Угловая скорость источника равна угловой скорости его изображения: $$\omega=\frac{v}{r}=\frac{v'}{R}.$$

5. Так как в любой момент времени источник и его изображение лежат в одной плоскости с главной оптической осью линзы, то получаем линейную скорость изображения: $$v'= \omega R=\frac{v}{r}\,R=\frac{R}{r}\,v=2v.$$

6. Подстановка численного значения даёт $$v'=2v=2\cdot 5=10\ \text{м/с}.$$

Луч от лампочки идёт из воды (более плотной среды) в воздух (менее плотную). Поэтому все лучи, падающие на поверхность под углами $\alpha\ge \alpha_0$ (где $\alpha_0$ — предельный угол полного внутреннего отражения), не выйдут из воды. Значит, чтобы свет не выходил, достаточно накрыть участок поверхности радиуса $R$ так, чтобы $$R\ge H\tan\alpha_0,$$ откуда минимальный радиус $$R_{\min}=H\tan\alpha_0.$$ Тогда глубина $$H=\frac{R_{\min}}{\tan\alpha_0}. \tag{1}$$

Предельный угол полного внутреннего отражения на границе вода–воздух определяется $$\sin\alpha_0=\frac{n_2}{n_1}, \tag{2}$$ где $n_1=\frac{4}{3}$ — показатель воды, $n_2=1{,}0$ — показатель воздуха.

1. По действиям: из (2) $\alpha_0=\arcsin\!\left(\dfrac{n_2}{n_1}\right)\approx \arcsin\!\left(\dfrac{3}{4}\right)\approx 48{,}59^\circ$. Подставляя в (1) с $R_{\min}=2{,}4\,\text{м}$, получаем $H\approx 2{,}1\,\text{м}$.

Оптическая сила глаза $D_1$, оптическая сила очков $D_2$. Пусть $f$ — расстояние от центра хрусталика до сетчатки, $d_1$ — расстояние до книги без очков, $d_2$ — с очками.

Тогда для чтения без очков: $$D_1=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f}.$$

Оптическая сила системы (очки + хрусталик) равна сумме: $$D_1+D_2=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f}.$$

Объединяя формулы: $$D_2=\frac{1}{d_2}-\frac{1}{d_1} =\frac{1}{0{,}25}-\frac{1}{0{,}5} =2\ \text{дптр}.$$

Ответ: $2$ дптр.

Рассмотрим ход лучей из одной точки А на дне бассейна. Вертикальный луч АВ не изменяет своего направления после прохождения границы раздела, остальные лучи испытывают преломление. При наблюдении из разных точек кажущаяся глубина имеет различные значения. В любом случае отношение действительной глубины h к кажущейся глубине h' определяется одной и той же формулой: $$\frac{h'}{h}=\frac{\tg\alpha}{\tg\beta}.$$

При наблюдении по вертикали вниз углы $\alpha$ и $\beta$ очень малы, они определяются расстоянием до поверхности воды и расстоянием между зрачками глаз. Для малых углов можно воспользоваться приближенным равенством синусов углов тангенсам углов: $$h'=\frac{\tg\alpha}{\tg\beta}h \approx \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}h \approx \frac{h}{n}\approx \frac{4}{1{,}33}\approx 3\ \text{м}.$$

Ответ: $3$ м.

Рассмотрим ход лучей, исходящих из точки $A$ на дне бассейна. Вертикальный луч $AB$ не изменяет своего направления после прохождения границы раздела, все остальные лучи испытывают преломление или отражаются от границы раздела.

Полное внутреннее отражение происходит начиная с такого значения угла падения $\alpha$, при котором угол преломления $\beta$ равен $90^\circ$. Следовательно, предельное значение угла $\alpha$, при котором свет выходит из воды, определяется условием $$\sin\alpha=\frac{1}{n}.$$

Из треугольника $ABC$ найдем радиус светового круга $BC$:

$$BC=AB\tg\alpha=\frac{AB}{\sqrt{n^2-1}}=\frac{3\ \text{м}}{\sqrt{1{,}33^2-1}}\approx 3{,}4\ \text{м}.$$

Ответ: $3{,}4$ м.