Тип 25 № 19560

Изображение треугольника построено на рисунке.

Изображение точки B удобно найти как пересечение луча, проходящего через центр линзы и луча, падающего на линзу перпендикулярно главной оптической оси.

Изображение точки С находится в точности под изображением точки В. Положение изображения точки А легко определить из формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}.$

Поскольку точка $A$ находится в двойном фокусе, то $d=2F$, а значит, и $f=2F$, то есть изображение точки $A$ также находится в двойном фокусе.

А кроме, легко понимать, что изображение треугольника вновь будет треугольником. Действительно, если пропустить луч через сторону $BA$, то после преломления на этом луче будут находиться изображения всех точек со стороны $BA$, то есть гипотенуза прямоугольного треугольника перейдет в гипотенузу треугольника-изображения.

Катеты треугольника $ABC$ равны

$$S=\frac{1}{2}h^2 \Rightarrow h=\sqrt{2S}=10\ \text{см}.$$

Найдем расстояние от линзы до изображения точки $C\ (d=2F+h)$:

$$f=\frac{dF}{d-F}=\frac{(10\ \text{см}+2\cdot 50\ \text{см})\cdot 50\ \text{см}}{10\ \text{см}+2\cdot 50\ \text{см}-50\ \text{см}}=\frac{275}{3}\ \text{см}.$$

Горизонтальный катет равен

$$a=2F-f=\frac{25}{3}\ \text{см}.$$

Из подобия треугольников для вертикального катета треугольника-изображения имеем

$$\frac{h}{b}=\frac{d}{f}\Rightarrow b=\frac{hf}{2F+h}=\frac{25}{3}\ \text{см}.$$

Таким образом, площадь треугольника изображения равна:

$$S'=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\left(\frac{25}{3}\right)^2\approx 35\ \text{см}^2.$$

Ответ: $S'\approx 35\ \text{см}^2$.