Тип 24 № 19991

При изобарном расширении на участке 1–2 газ получает от нагревателя количество теплоты $Q_{12}$, а на участке 3–4 отдает холодильнику в изохорном процессе количество теплоты $Q_{34}$. На других участках теплообмен отсутствует. В соответствии с первым началом термодинамики работа газа за цикл $A$ равна разности количества теплоты, полученной от нагревателя и отданной холодильнику, а КПД теплового двигателя: $$\eta=\frac{A}{Q_{12}}=1-\frac{Q_{34}}{Q_{12}}.$$

Количество теплоты $Q_{12}$, полученное при изобарном расширении на участке 1–2, равно сумме увеличения внутренней энергии газа при увеличении его температуры и работы газа на этом участке: $Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}$. Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна абсолютной температуре, и для 1 моль одноатомного газа $U=\frac{3}{2}\nu RT$, а ее изменение: $$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)=\frac{3}{2}\nu R\Delta T_{12}.$$ Работа газа при изобарном расширении $A_{12}=p_1(V_2-V_1)$. Выражая ее через изменение температуры с помощью уравнения Клапейрона — Менделеева $pV=\nu RT$, получаем: $$A_{12}=p_1(V_2-V_1)=\nu R\Delta T_{12}.$$ Отсюда: $$Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=\frac{5}{2}\nu R\Delta T_{12}.$$ Отдаваемое количество теплоты $Q_{34}$ при изохорном охлаждении на участке 3–4 равно уменьшению внутренней энергии газа в этом процессе: $$Q_{34}=|\Delta U_{34}|=\frac{3}{2}\nu R|\Delta T_{34}|.$$ В итоге получаем: $$\eta=1-\frac{Q_{34}}{Q_{12}}=1-\frac{3|\Delta T_{34}|}{5\Delta T_{12}}.$$ Отсюда находим: $$\frac{\Delta T_{12}}{|\Delta T_{34}|}=\frac{3}{5(1-\eta)}=\frac{3}{5\cdot 0{,}5}=1{,}2.$$

Ответ: 1,2.