Первое начало термодинамики

1. При изобарном сжатии над гелием совершается работа, модуль которой $$A_1=|p\,\Delta V|,$$ где $p$ — давление гелия в данном процессе, $\Delta V$ — изменение объёма.

2. С учётом уравнения Менделеева–Клапейрона для этого процесса можно записать: $$|p\,\Delta V|=\nu R\,(T_1-T_2).$$

3. В адиабатном процессе (теплообмена нет) по первому началу термодинамики сумма изменения внутренней энергии и работы газа равна нулю: $$\frac{3}{2}\,\nu R\,(T_3-T_2)+A_2=0.$$ Здесь использовано выражение для изменения внутренней энергии идеального одноатомного газа: $$\Delta U=\frac{3}{2}\,\nu R\,(T_3-T_2).$$

Преобразуя полученные соотношения с учётом температур из условия, имеем $$A_1=3\,\nu R T_2,\qquad A_2=\frac{3}{4}\,\nu R T_2.$$

Следовательно, $$A_2=\frac{A_1}{4}=\frac{2400}{4}=600~\text{Дж}.$$

Ответ: $A_2=600~\text{Дж}.$

1. Количество теплоты $Q_{12}$, полученное газом в изобарном процессе $1\!\to\!2$, по первому началу: $$Q_{12}=A_{12}+(U_2-U_1)=p_1(V_2-V_1)+\frac{3}{2}\nu R (T_2-T_1) =p_1(V_2-V_1)+\frac{3}{2}p_1(V_2-V_1)=\frac{5}{2}A_{12}.$$ (Здесь использованы формулы для внутренней энергии одноатомного идеального газа $U=\tfrac{3}{2}\nu RT$ и уравнение $pV=\nu RT$.)

2. Для адиабатного процесса $Q_{13}=0$. Поэтому модуль изменения внутренней энергии на участке $1\!\to\!3$: $$|U_3-U_1|=A_{13}.$$

3. Тогда искомое отношение $$x=\frac{Q_{12}}{|U_3-U_1|}=\frac{\frac{5}{2}A_{12}}{A_{13}}=\frac{5}{2}k,$$ где $k=\dfrac{A_{12}}{A_{13}}=2$. Следовательно $x=\dfrac{5}{2}\cdot 2=5$.

Ответ: 5.

1. Запишем первое начало термодинамики $Q=\Delta U+A$ для изохорного нагрева $2\to3$. Так как $A_{23}=0$, имеем $$Q_{23}=\Delta U_{23}.$$ Поскольку $\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T_{23}=\frac{3}{2}\nu R\,(T_3-T_2)$, то $$Q_{23}=\frac{3}{2}\nu R\,(T_3-T_2).$$

2. Закон Шарля для состояний 2 и 3 даёт $$\frac{p_3}{T_3}=\frac{p_2}{T_2},\qquad \frac{p_3}{p_2}=\frac{T_3}{T_2},$$ откуда $T_3=3T_2$.

3. По условию $T_2=T_1$, следовательно $$Q_{23}=\frac{3}{2}\nu R\,(3T_2-T_2)=\frac{3}{2}\nu R\cdot 2T_2=3\nu R T_1.$$ Численно: $$Q_{23}=3\cdot 1\cdot 8{,}31\cdot 300=7479~\text{Дж}\approx 7{,}5~\text{кДж}.$$

Для решение задачи стоит заметить, что газ находится под поршнем, следовательно при кипении бензола происходит его изобраное расширение, таким образом по перому закону термодинамик подводимое количество теплоты равно сумме изменения внутренней энергии системы и совершенной механической работы $Q=\Delta U+A\Rightarrow\Delta U=Q-A$, где работу газа можно вычислить по формуле: $$A=p\Delta V$$ где $p$–давление испраившегося бензола, $\Delta V$–изменение объема.
В дальнейшем решении задачи будем считать пар идеальным газом, тогда запишем уравнение Менделеева-⁠Клапейрона: $$p\Delta V=\frac{\Delta m}{M}RT\Rightarrow A=\frac{\Delta m}{M}RT$$ где $T=273+80=353$ К — температура кипения бензола.
Суммарное количество теплоты необходимое для испарения массы $\Delta m$ можно найти по формуле:
$$Q=\Delta mL$$ Тогда можем найти искомое отношение изменения внутренней энергии бензола к количеству теплоты:
$$\frac{\Delta U}{Q}=\frac{Q-A}{Q}=1-\frac{A}{Q}=1-\frac{\frac{\Delta m}{M}RT}{\Delta mL}=1-\frac{RT}{ML}=1-\frac{8.31\cdot353}{78\cdot10^{-3}\cdot386\cdot10^3}\approx0.9$$

Ответ: $\frac{\Delta U}{Q}=\approx0.9$

Для начала стоит записать второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось для пробки в горизонтально лежащей бутылке, как которую действует прикладываемая сила $F$, сила давления газа, со стороны гелия $F_\text{д.г.}=pS=p_0S$ (Так как по условию давление гелия равно атмосферному $p_0$), сила давления со стороны атмосферы $F_\text{д.атм.}=p_0S$, сила трения трения между пробкой и горлышком бутылки $F_\text{тр.}$. Таким образом:
$$F_\text{д.г.}+F-F_\text{д.атм.}-F_\text{тр.}=0\Rightarrow p_0S+F-p_0S-F_\text{тр.}=0\Rightarrow F_\text{тр.}=F$$ Теперь перейдём к рассмотрению вертикально стоящей бутылки. Запишем второй закон Ньютона для пробки в проекции на вертикальную ось, на пробку будет действовать силы давления со стороны гелия $F_\text{д.г.}'=p_1S$, где $p_1$ – давление гелия до нагревания, и силы давления со стороны атмосферы $F_\text{д.атм.}'=p_0S$, сила трения между пробкой и бутылкой, а так же сила тяжести $F_\text{т}=mg$, таким образом:
$$F_\text{д.г.}'-mg-F_\text{д.атм.}'-F_\text{тр.}=0\Rightarrow p_1S-mg-p_0S-F=0 \Rightarrow p_1=\frac{F+p_0S+mg}{S}$$ И в момент вылета пробки $p_2$ давление гелия станет равным атмосферному (внешнему) давлению $p_2=p_0$, тогда:
Нагревание в закрытом сосуде происходит изохорно нагревание, это означает что работа газа равна нулю. Тогда по первому закону термодинамики полученное количество теплоты $Q=\Delta U=\frac{3}{2}\Delta pV$.
Тогда учитывая что $\Delta p=p_1-p_2$, получим:
$$Q=\frac{3}{2}V\cdot\left(\frac{F+p_0S+mg}{S}-p_0\right)=\frac{3V(F+mg)}{2S}=\frac{3\cdot10^{-3}\cdot(2\cdot10^{-2}\cdot10+1)}{2\cdot2\cdot10^{-4}}=9\,\text{Дж}$$

Ответ: $Q=9\,\text{Дж}$