Прогрессии: арифметическая и геометрическая

Слово «прогрессия» часто вызывает ощущение, что сейчас начнётся набор формул с индексами, степенями и непонятными буквами. Но в основе всей темы лежит очень простая идея: числа изменяются по одному и тому же правилу.

Представь, что спортсмен в первый день пробежал $3$ километра, а затем каждый день увеличивал расстояние на $2$ километра. Получится последовательность:

$$3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ldots$$

Каждый раз мы прибавляем одно и то же число. Это арифметическая прогрессия.

Теперь представим другой процесс. Количество клеток каждую минуту увеличивается в два раза:

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48,\ldots$$

Здесь каждый следующий результат получается умножением на одно и то же число. Это геометрическая прогрессия.

В задачах ЕГЭ определения редко спрашивают напрямую. Обычно прогрессия прячется внутри текста: рабочий ежедневно изготавливает на несколько деталей больше, спортсмен увеличивает нагрузку, вклад растёт на один и тот же процент, количество объектов удваивается.

Поэтому в этой теме важно не только знать формулы, но и уметь увидеть за словами числовую последовательность.

Главное различие: арифметическая прогрессия связана с постоянной прибавкой, а геометрическая — с постоянным множителем.

Что такое числовая последовательность

Прежде чем говорить о прогрессиях, разберёмся с более общим понятием.

Числовая последовательность — это набор чисел, записанных в определённом порядке.

Например:

$$4,\ 7,\ 10,\ 13,\ 16,\ldots$$

Каждое число называется членом последовательности. Члены обозначают буквами с нижними индексами:

$$a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots,\ a_n$$

Индекс показывает номер члена:

• $a_1$ — первый член;
• $a_2$ — второй член;
• $a_7$ — седьмой член;
• $a_n$ — член с номером $n$.

Для последовательности

$$4,\ 7,\ 10,\ 13,\ldots$$

получаем:

$$a_1=4,\qquad a_2=7,\qquad a_3=10,\qquad a_4=13.$$

Важно не путать номер члена и его значение. В записи $a_7=25$ число $7$ — это номер, а число $25$ — значение седьмого члена.

Нижний индекс — это не множитель. Запись $a_5$ не означает $a\cdot5$. Она означает «пятый член последовательности».

Как отличить арифметическую прогрессию от геометрической

Рассмотрим последовательность:

$$6,\ 10,\ 14,\ 18,\ldots$$

Проверим разности соседних членов:

$$10-6=4,$$

$$14-10=4,$$

$$18-14=4.$$

Разности одинаковы. Значит, это арифметическая прогрессия.

Теперь рассмотрим другую последовательность:

$$2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots$$

Здесь разности уже не одинаковы:

$$6-2=4,\qquad 18-6=12.$$

Зато одинаковы отношения соседних членов:

$$\frac62=3,\qquad \frac{18}{6}=3,\qquad \frac{54}{18}=3.$$

Значит, это геометрическая прогрессия.

Слова «на одно и то же число больше» указывают на арифметическую прогрессию. Слова «в одно и то же число раз больше» или «увеличивается на один и тот же процент» обычно указывают на геометрическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа.

Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой $d$.

Определение можно записать формулой:

$$a_{n+1}=a_n+d.$$

Разность находится так:

$$d=a_{n+1}-a_n.$$

Рассмотрим прогрессию:

$$7,\ 11,\ 15,\ 19,\ldots$$

Здесь

$$d=11-7=4.$$

Проверим по другим соседним членам:

$$15-11=4,\qquad 19-15=4.$$

Разность действительно постоянна, поэтому перед нами арифметическая прогрессия с $d=4$.

Что показывает разность арифметической прогрессии

Разность $d$ показывает, насколько изменяется последовательность при переходе к следующему члену.

Если $d>0$, последовательность возрастает:

$$3,\ 8,\ 13,\ 18,\ldots$$

Здесь $d=5$.

Если $d<0$, последовательность убывает:

$$20,\ 17,\ 14,\ 11,\ldots$$

Здесь

$$d=17-20=-3.$$

Если $d=0$, все члены одинаковы:

$$6,\ 6,\ 6,\ 6,\ldots$$

Таким образом:

$$d>0 \Rightarrow \text{прогрессия возрастает},$$

$$d<0 \Rightarrow \text{прогрессия убывает},$$

$$d=0 \Rightarrow \text{все члены равны}.$$

Особенно внимательно нужно читать формулировки текстовых задач.

Если сказано, что результат ежедневно увеличивается на $4$, то

$$d=4.$$

Если результат ежедневно уменьшается на $4$, то

$$d=-4.$$

Как получить формулу общего члена арифметической прогрессии

Пусть первый член равен $a_1$, а разность равна $d$.

Чтобы получить второй член, один раз прибавляем $d$:

$$a_2=a_1+d.$$

Чтобы получить третий член, прибавляем $d$ ещё раз:

$$a_3=a_2+d=a_1+2d.$$

Для четвёртого члена:

$$a_4=a_1+3d.$$

Получается закономерность:

$$a_1=a_1,$$

$$a_2=a_1+d,$$

$$a_3=a_1+2d,$$

$$a_4=a_1+3d.$$

Перед членом с номером $n$ было сделано $n-1$ переходов. Поэтому

$$\boxed{a_n=a_1+(n-1)d}.$$

Это главная формула арифметической прогрессии.

В формуле стоит именно $n-1$, а не $n$. Чтобы перейти от первого члена к пятому, нужно сделать четыре шага.

Как найти член арифметической прогрессии

Задача. В арифметической прогрессии $a_1=12$, $d=3$. Найти восьмой член.

Используем формулу:

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Подставляем $n=8$:

$$a_8=12+(8-1)\cdot3.$$

Сначала вычисляем количество переходов:

$$8-1=7.$$

Тогда

$$a_8=12+7\cdot3=12+21=33.$$

Ответ: $\boxed{33}$

Проверим последовательным прибавлением:

$$12,\ 15,\ 18,\ 21,\ 24,\ 27,\ 30,\ 33.$$

Восьмой член действительно равен $33$.

Как найти первый член

Задача. В арифметической прогрессии $a_7=26$, а разность $d=3$. Найти первый член.

По формуле общего члена:

$$a_7=a_1+(7-1)d.$$

Подставляем известные значения:

$$26=a_1+6\cdot3.$$

$$26=a_1+18.$$

Отсюда

$$a_1=8.$$

Ответ: $\boxed{8}$

Как найти разность

Задача. В арифметической прогрессии $a_1=7$, $a_{11}=47$. Найти разность.

Используем формулу:

$$a_{11}=a_1+(11-1)d.$$

Подставляем значения:

$$47=7+10d.$$

Переносим $7$ вправо:

$$40=10d.$$

Следовательно,

$$d=4.$$

Ответ: $\boxed{4}$

Связь между произвольными членами

Не всегда в задаче известен первый член. Например, могут быть даны $a_6$ и $a_{15}$.

В таком случае удобно использовать формулу:

$$\boxed{a_m=a_k+(m-k)d}.$$

Она означает, что от члена с номером $k$ до члена с номером $m$ нужно сделать $m-k$ шагов.

Задача. В арифметической прогрессии $a_6=17$, $d=4$. Найти $a_{15}$.

Используем связь произвольных членов:

$$a_{15}=a_6+(15-6)d.$$

Подставляем значения:

$$a_{15}=17+9\cdot4.$$

$$a_{15}=17+36=53.$$

Ответ: $\boxed{53}$

Здесь не пришлось искать первый член. Мы сразу перешли от шестого члена к пятнадцатому.

Как найти разность по двум произвольным членам

Задача. Известно, что $a_4=14$, а $a_{10}=32$. Найти разность арифметической прогрессии.

Используем формулу:

$$a_{10}=a_4+(10-4)d.$$

Подставляем значения:

$$32=14+6d.$$

$$18=6d.$$

$$d=3.$$

Ответ: $\boxed{3}$

Можно запомнить более общую формулу:

$$\boxed{d=\frac{a_m-a_k}{m-k}}.$$

Для нашей задачи:

$$d=\frac{32-14}{10-4}=\frac{18}{6}=3.$$

Средний член арифметической прогрессии

В арифметической прогрессии каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних членов:

$$\boxed{a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}.$$

То же самое можно записать так:

$$\boxed{2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}}.$$

Например, в прогрессии

$$5,\ 9,\ 13$$

средний член равен

$$13=\frac{9+17}{2}$$

для фрагмента

$$9,\ 13,\ 17.$$

Задача. Числа $7$, $x$ и $19$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найти $x$.

Средний член равен среднему арифметическому соседних:

$$x=\frac{7+19}{2}.$$

$$x=\frac{26}{2}=13.$$

Ответ: $\boxed{13}$

Это свойство позволяет решать задачу без поиска разности.

Сумма первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых $n$ членов обозначается буквой $S_n$:

$$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n.$$

Например,

$$S_4=a_1+a_2+a_3+a_4.$$

Для арифметической прогрессии используется формула:

$$\boxed{S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n}.$$

Её можно прочитать так:

Сумма равна среднему арифметическому первого и последнего членов, умноженному на количество членов.

Если последний член неизвестен, удобно использовать другую форму:

$$\boxed{S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n}.$$

Обе формулы равносильны, потому что

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Откуда берётся формула суммы

Запишем сумму в обычном порядке:

$$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-1}+a_n.$$

Теперь запишем ту же сумму в обратном порядке:

$$S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots+a_2+a_1.$$

Сложим записи по столбцам:

$$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\ldots+(a_n+a_1).$$

Каждая пара имеет одинаковую сумму:

$$a_1+a_n.$$

Таких пар получилось $n$. Поэтому

$$2S_n=(a_1+a_n)n.$$

Делим обе части на $2$:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$$

Эту формулу необязательно каждый раз выводить, но её смысл полезно понимать. Мы берём среднее значение между первым и последним членами и умножаем на количество членов.

Как найти сумму, если известны первый и последний члены

Задача. В арифметической прогрессии $a_1=8$, $a_{12}=41$. Найти сумму первых двенадцати членов.

Используем формулу:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$$

Подставляем значения:

$$S_{12}=\frac{8+41}{2}\cdot12.$$

$$S_{12}=\frac{49}{2}\cdot12.$$

Сократим $12$ и $2$:

$$S_{12}=49\cdot6=294.$$

Ответ: $\boxed{294}$

Разность прогрессии в этой задаче искать не нужно.

Как найти сумму, если известны первый член и разность

Задача. В арифметической прогрессии $a_1=5$, $d=3$. Найти сумму первых пятнадцати членов.

Используем формулу:

$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$

Подставляем значения:

$$S_{15}=\frac{2\cdot5+(15-1)\cdot3}{2}\cdot15.$$

$$S_{15}=\frac{10+42}{2}\cdot15.$$

$$S_{15}=26\cdot15=390.$$

Ответ: $\boxed{390}$

Эту же задачу можно решить через последний член:

$$a_{15}=5+14\cdot3=47.$$

Тогда

$$S_{15}=\frac{5+47}{2}\cdot15=26\cdot15=390.$$

Оба способа приводят к одному ответу.

Как не перепутать член прогрессии и сумму

Это одна из самых частых ошибок в текстовых задачах.

Запись

$$a_{10}=50$$

означает, что только десятый член равен $50$.

Запись

$$S_{10}=50$$

означает, что сумма первых десяти членов равна $50$.

Если рабочий изготовил в десятый день $50$ деталей, то

$$a_{10}=50.$$

Если рабочий изготовил за десять дней всего $50$ деталей, то

$$S_{10}=50.$$

Слова «в последний день», «на десятый день», «в пятом ряду» указывают на отдельный член. Слова «всего», «за все дни», «общее количество» указывают на сумму.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность ненулевых чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число.

Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой $q$.

Определение записывается формулой:

$$b_{n+1}=b_nq.$$

Знаменатель можно найти по формуле:

$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.$$

Рассмотрим последовательность:

$$4,\ 12,\ 36,\ 108,\ldots$$

Находим отношение соседних членов:

$$q=\frac{12}{4}=3.$$

Проверяем:

$$\frac{36}{12}=3,\qquad \frac{108}{36}=3.$$

Отношение постоянно, поэтому перед нами геометрическая прогрессия со знаменателем $q=3$.

Что показывает знаменатель геометрической прогрессии

Знаменатель $q$ показывает, во сколько раз изменяется каждый следующий член.

Если $q>1$ и первый член положительный, члены возрастают:

$$2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots$$

Здесь $q=3$.

Если $0<q<1$ и первый член положительный, члены уменьшаются:

$$16,\ 8,\ 4,\ 2,\ldots$$

Здесь

$$q=\frac12.$$

Если $q<0$, знаки членов чередуются:

$$3,\ -6,\ 12,\ -24,\ldots$$

Здесь

$$q=-2.$$

Если $q=1$, все члены равны:

$$5,\ 5,\ 5,\ 5,\ldots$$

При отрицательном знаменателе нельзя просто сказать, что прогрессия возрастает или убывает: её члены по очереди меняют знак.

Формула общего члена геометрической прогрессии

Пусть первый член равен $b_1$, а знаменатель равен $q$.

Тогда

$$b_2=b_1q.$$

Для третьего члена:

$$b_3=b_2q=b_1q^2.$$

Для четвёртого:

$$b_4=b_3q=b_1q^3.$$

Получается:

$$b_1=b_1,$$

$$b_2=b_1q,$$

$$b_3=b_1q^2,$$

$$b_4=b_1q^3.$$

Следовательно,

$$\boxed{b_n=b_1q^{n-1}}.$$

Как и в арифметической прогрессии, используется $n-1$, потому что от первого члена до члена с номером $n$ совершается $n-1$ переходов.

Как найти член геометрической прогрессии

Задача. В геометрической прогрессии $b_1=3$, $q=2$. Найти седьмой член.

Используем формулу:

$$b_n=b_1q^{n-1}.$$

Подставляем $n=7$:

$$b_7=3\cdot2^{7-1}.$$

$$b_7=3\cdot2^6.$$

$$b_7=3\cdot64=192.$$

Ответ: $\boxed{192}$

Проверим последовательность:

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48,\ 96,\ 192.$$

Связь между произвольными членами геометрической прогрессии

Если первый член неизвестен, удобно использовать формулу:

$$\boxed{b_m=b_kq^{m-k}}.$$

Задача. В геометрической прогрессии $b_2=12$, $q=3$. Найти $b_6$.

От второго члена до шестого нужно сделать четыре перехода:

$$b_6=b_2q^{6-2}.$$

$$b_6=12\cdot3^4.$$

$$b_6=12\cdot81=972.$$

Ответ: $\boxed{972}$

Как найти знаменатель по двум членам

Задача. В геометрической прогрессии $b_2=6$, $b_5=162$. Найти положительный знаменатель $q$.

Используем связь между членами:

$$b_5=b_2q^{5-2}.$$

Подставляем значения:

$$162=6q^3.$$

Делим обе части на $6$:

$$q^3=27.$$

Следовательно,

$$q=3.$$

Ответ: $\boxed{3}$

Если разность номеров равна двум, после подстановки может получиться уравнение вида

$$q^2=16.$$

Тогда необходимо рассмотреть два значения:

$$q=4\qquad\text{или}\qquad q=-4.$$

Один из вариантов можно отбросить только в том случае, если в условии сказано, что знаменатель положительный или все члены прогрессии положительны.

Средний член геометрической прогрессии

Для трёх последовательных членов геометрической прогрессии выполняется свойство:

$$\boxed{b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}}.$$

То есть квадрат среднего члена равен произведению соседних.

Задача. Положительные числа $2$, $x$ и $18$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найти $x$.

Используем свойство среднего члена:

$$x^2=2\cdot18.$$

$$x^2=36.$$

Отсюда

$$x=\pm6.$$

Но в условии сказано, что числа положительные, поэтому

$$x=6.$$

Ответ: $\boxed{6}$

Если условия о положительности нет, нужно внимательно проверить оба знака.

Например, последовательность

$$2,\ -6,\ 18$$

тоже является геометрической, потому что её знаменатель равен $-3$.

Сумма первых членов геометрической прогрессии

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии записывается так:

$$S_n=b_1+b_2+b_3+\ldots+b_n.$$

Если $q\ne1$, используется формула:

$$\boxed{S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}}.$$

Также встречается равносильная запись:

$$\boxed{S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}}.$$

Можно использовать любую из них. Главное — не смешивать числители и знаменатели разных вариантов.

Если $q=1$, все члены равны $b_1$, поэтому

$$\boxed{S_n=nb_1}.$$

Откуда берётся формула суммы геометрической прогрессии

Запишем сумму:

$$S_n=b_1+b_1q+b_1q^2+\ldots+b_1q^{n-1}.$$

Умножим обе части на $q$:

$$qS_n=b_1q+b_1q^2+\ldots+b_1q^{n-1}+b_1q^n.$$

Вычтем первую запись из второй:

$$qS_n-S_n=b_1q^n-b_1.$$

Вынесем общие множители:

$$S_n(q-1)=b_1(q^n-1).$$

Если $q\ne1$, делим на $q-1$:

$$S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}.$$

Как найти сумму геометрической прогрессии

Задача. Найти сумму первых шести членов прогрессии

$$> 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ldots >$$

Первый член равен

$$b_1=2.$$

Знаменатель:

$$q=\frac42=2.$$

Количество членов:

$$n=6.$$

Подставляем в формулу:

$$S_6=2\cdot\frac{2^6-1}{2-1}.$$

$$S_6=2\cdot(64-1).$$

$$S_6=2\cdot63=126.$$

Ответ: $\boxed{126}$

Проверим прямым сложением:

$$2+4+8+16+32+64=126.$$

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Если

$$|q|<1,$$

то члены геометрической прогрессии по модулю становятся всё меньше и приближаются к нулю.

Например:

$$12,\ 4,\ \frac43,\ \frac49,\ldots$$

Здесь

$$q=\frac13.$$

Для такой прогрессии можно найти сумму бесконечного количества членов:

$$\boxed{S=\frac{b_1}{1-q}},\qquad |q|<1.$$

Задача. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если $b_1=12$, $q=\frac13$.

Подставляем значения:

$$S=\frac{12}{1-\frac13}.$$

В знаменателе:

$$1-\frac13=\frac23.$$

Поэтому

$$S=\frac{12}{\frac23}=12\cdot\frac32=18.$$

Ответ: $\boxed{18}$

Условие $|q|<1$ обязательно. Например, у прогрессии

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ldots$$

суммы первых членов не приближаются к конечному числу, поэтому суммы бесконечной прогрессии в таком смысле нет.

Как проценты связаны с геометрической прогрессией

Процентное изменение — один из главных признаков геометрической прогрессии.

Если величина увеличивается на $p\%$, её каждый раз умножают на

$$q=1+\frac{p}{100}.$$

Если величина уменьшается на $p\%$, её умножают на

$$q=1-\frac{p}{100}.$$

Например, увеличить число $500$ на $20\%$ — значит умножить его на $1{,}2$:

$$500\cdot1{,}2=600.$$

Уменьшить число $500$ на $20\%$ — значит умножить его на $0{,}8$:

$$500\cdot0{,}8=400.$$

Нельзя считать, что увеличение на $20\%$ означает $q=0{,}2$. Число $0{,}2$ показывает только величину прибавки. Полный множитель равен $1+0{,}2=1{,}2$.

Пример с ежегодным процентным ростом

Задача. Первоначальная сумма равна $50\,000$ рублей. Каждый год она увеличивается на $10\%$. Какой станет сумма через три года?

Ежегодный множитель равен

$$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$

За три года увеличение произойдёт три раза, поэтому

$$50\,000\cdot1{,}1^3.$$

Вычисляем:

$$1{,}1^3=1{,}331.$$

Следовательно,

$$50\,000\cdot1{,}331=66\,550.$$

Ответ: $\boxed{66\,550}$

Здесь важно правильно посчитать количество изменений. Начальная сумма существует до первого начисления процентов, поэтому за три года множитель применяется три раза.

Как прогрессии прячутся в текстовых задачах

В условии задачи слова «арифметическая прогрессия» или «геометрическая прогрессия» могут вообще не появиться.

Прогрессию приходится узнавать по описанию процесса.

Самая важная языковая разница:

$$\text{«на }5\text{ больше»} \Rightarrow +5,$$

$$\text{«в }5\text{ раз больше»} \Rightarrow \cdot5.$$

Если число $10$ увеличить на $5$, получится

$$10+5=15.$$

Если число $10$ увеличить в $5$ раз, получится

$$10\cdot5=50.$$

Универсальный алгоритм решения текстовой задачи

Большинство задач на прогрессии можно решать по одной схеме.

1. Определи, какая величина изменяется: количество деталей, расстояние, число мест, сумма денег или что-то другое.
2. Пойми, как она изменяется: прибавлением одного и того же числа или умножением на один и тот же множитель.
3. Определи вид прогрессии.
4. Выпиши известные величины с обозначениями.
5. Отдельно запиши, что нужно найти.
6. Выбери формулу, в которой известны все величины, кроме одной.
7. Реши получившееся уравнение.
8. Проверь, отвечает ли найденное число вопросу задачи.

Для арифметической прогрессии запись данных может выглядеть так:

$$a_1=12,\qquad n=15,\qquad a_{15}=54.$$

Для геометрической:

$$b_1=5,\qquad q=2,\qquad n=7.$$

Не начинай вычисления сразу после чтения условия. Несколько секунд, потраченных на запись данных, часто спасают от неправильного выбора формулы.

Задача ЕГЭ на количество дней

Задача. Рабочий изготовил за несколько дней $360$ деталей. Каждый день он изготавливал на одно и то же число деталей больше, чем в предыдущий. За первый и последний дни вместе он изготовил $72$ детали. Сколько дней работал рабочий?

Количество деталей по дням образует арифметическую прогрессию.

Общее количество деталей — это сумма:

$$S_n=360.$$

За первый и последний дни вместе изготовлено $72$ детали:

$$a_1+a_n=72.$$

Нужно найти количество дней:

$$n.$$

Используем формулу суммы:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$$

Подставляем данные:

$$360=\frac{72}{2}\cdot n.$$

$$360=36n.$$

Отсюда

$$n=10.$$

Ответ: $\boxed{10}$

Обрати внимание: нам не пришлось искать ни первый член, ни последний член, ни разность. В условии уже дана их сумма, а именно она входит в формулу.

Задача ЕГЭ на результат последнего дня

Задача. Ученик решил за $12$ дней $300$ задач. В первый день он решил $14$ задач, а затем ежедневно увеличивал количество решённых задач на одно и то же число. Сколько задач он решил в последний день?

Результаты по дням образуют арифметическую прогрессию.

Известно:

$$S_{12}=300,$$

$$a_1=14,$$

$$n=12.$$

Нужно найти:

$$a_{12}.$$

Используем формулу суммы:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$$

Подставляем значения:

$$300=\frac{14+a_{12}}{2}\cdot12.$$

Сокращаем $12$ и $2$:

$$300=6(14+a_{12}).$$

Делим обе части на $6$:

$$50=14+a_{12}.$$

Следовательно,

$$a_{12}=36.$$

Ответ: $\boxed{36}$

Если продолжить решение, можно найти ежедневное увеличение:

$$36=14+11d.$$

$$22=11d.$$

$$d=2.$$

Но для ответа на вопрос задачи находить $d$ не требовалось.

Задача ЕГЭ на определённый день

Задача. Турист прошёл за $8$ дней $184$ километра. В первый день он прошёл $9$ километров, а каждый следующий день проходил на одно и то же расстояние больше. Сколько километров турист прошёл в четвёртый день?

Известно:

$$S_8=184,$$

$$a_1=9,$$

$$n=8.$$

Нужно найти:

$$a_4.$$

Сразу найти $a_4$ нельзя, потому что неизвестна разность. Сначала найдём $d$ по формуле суммы:

$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$

Подставляем данные:

$$184=\frac{2\cdot9+(8-1)d}{2}\cdot8.$$

$$184=\frac{18+7d}{2}\cdot8.$$

Сокращаем $8$ и $2$:

$$184=4(18+7d).$$

Делим на $4$:

$$46=18+7d.$$

$$28=7d.$$

$$d=4.$$

Теперь находим четвёртый член:

$$a_4=a_1+(4-1)d.$$

$$a_4=9+3\cdot4.$$

$$a_4=21.$$

Ответ: $\boxed{21}$

Здесь ответом является не разность $d=4$, а расстояние в четвёртый день.

Задача ЕГЭ на ежедневное увеличение

Задача. Мастер изготовил за $10$ дней $320$ деталей. В первый день он изготовил $14$ деталей, а каждый следующий день — на одно и то же число деталей больше. На сколько деталей мастер ежедневно увеличивал результат?

Известно:

$$S_{10}=320,$$

$$a_1=14,$$

$$n=10.$$

Нужно найти:

$$d.$$

Используем формулу:

$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$

Подставляем:

$$320=\frac{2\cdot14+9d}{2}\cdot10.$$

$$320=5(28+9d).$$

Делим на $5$:

$$64=28+9d.$$

$$36=9d.$$

$$d=4.$$

Ответ: $\boxed{4}$

Проверим последний день:

$$a_{10}=14+9\cdot4=50.$$

Тогда сумма первого и последнего результатов равна

$$14+50=64.$$

Средний результат за день:

$$\frac{64}{2}=32.$$

За десять дней:

$$32\cdot10=320.$$

Проверка совпала с условием.

Задача о рядах в зале

Задача. В первом ряду зрительного зала $12$ мест, а в каждом следующем на $2$ места больше. Всего в зале $18$ рядов. Сколько мест в зале?

Количество мест по рядам образует арифметическую прогрессию.

Известно:

$$a_1=12,$$

$$d=2,$$

$$n=18.$$

Нужно найти:

$$S_{18}.$$

Сначала можно найти количество мест в последнем ряду:

$$a_{18}=12+(18-1)\cdot2.$$

$$a_{18}=12+34=46.$$

Теперь используем формулу суммы:

$$S_{18}=\frac{12+46}{2}\cdot18.$$

$$S_{18}=29\cdot18=522.$$

Ответ: $\boxed{522}$

Можно было сразу воспользоваться формулой через первый член и разность:

$$S_{18}=\frac{2\cdot12+17\cdot2}{2}\cdot18=522.$$

Задача на убывающую арифметическую прогрессию

Задача. Спортсмен в первый день пробежал $30$ километров, а затем ежедневно уменьшал расстояние на $2$ километра. Сколько километров он пробежал за первые $8$ дней?

Поскольку расстояние уменьшается, разность отрицательна:

$$d=-2.$$

Известно:

$$a_1=30,\qquad d=-2,\qquad n=8.$$

Найдём результат восьмого дня:

$$a_8=30+(8-1)\cdot(-2).$$

$$a_8=30-14=16.$$

Теперь найдём сумму:

$$S_8=\frac{30+16}{2}\cdot8.$$

$$S_8=23\cdot8=184.$$

Ответ: $\boxed{184}$

Главная опасность в этой задаче — записать $d=2$ вместо $d=-2$.

Задача на геометрический рост

Задача. В первый час количество объектов было равно $5$, а затем каждый час оно увеличивалось в $3$ раза. Сколько объектов будет в шестой час?

Количество объектов образует геометрическую прогрессию.

Известно:

$$b_1=5,$$

$$q=3,$$

$$n=6.$$

Используем формулу общего члена:

$$b_n=b_1q^{n-1}.$$

$$b_6=5\cdot3^{6-1}.$$

$$b_6=5\cdot3^5.$$

$$b_6=5\cdot243=1215.$$

Ответ: $\boxed{1215}$

Здесь степень равна $5$, потому что от первого часа до шестого происходит пять увеличений.

Задача на сумму геометрической прогрессии

Задача. В первый день участник получил $2$ балла, а каждый следующий день получал в два раза больше, чем в предыдущий. Сколько баллов он получил за первые $7$ дней?

Количество баллов по дням образует геометрическую прогрессию.

Известно:

$$b_1=2,$$

$$q=2,$$

$$n=7.$$

Нужно найти сумму:

$$S_7.$$

Используем формулу:

$$S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}.$$

Подставляем:

$$S_7=2\cdot\frac{2^7-1}{2-1}.$$

$$S_7=2\cdot(128-1).$$

$$S_7=2\cdot127=254.$$

Ответ: $\boxed{254}$

Если бы спрашивали количество баллов только в седьмой день, нужно было бы искать $b_7$, а не $S_7$:

$$b_7=2\cdot2^6=128.$$

Как найти номер члена

В арифметической прогрессии номер обычно находится из линейного уравнения.

Задача. Дана арифметическая прогрессия

$$> 5,\ 9,\ 13,\ldots >$$

Какой номер имеет член, равный $101$?

Из последовательности видно:

$$a_1=5,$$

$$d=4.$$

По условию:

$$a_n=101.$$

Используем формулу:

$$101=5+(n-1)\cdot4.$$

$$96=4(n-1).$$

$$24=n-1.$$

$$n=25.$$

Ответ: $\boxed{25}$

Для проверки:

$$a_{25}=5+24\cdot4=101.$$

Как найти номер члена геометрической прогрессии

Задача. Дана геометрическая прогрессия

$$> 3,\ 6,\ 12,\ldots >$$

Какой номер имеет член, равный $384$?

Известно:

$$b_1=3,$$

$$q=2.$$

Используем формулу:

$$384=3\cdot2^{n-1}.$$

Делим на $3$:

$$128=2^{n-1}.$$

Так как

$$128=2^7,$$

получаем

$$n-1=7.$$

Следовательно,

$$n=8.$$

Ответ: $\boxed{8}$

Как найти количество членов по сумме

Задача. В арифметической прогрессии $a_1=3$, $d=2$. Сумма первых $n$ членов равна $120$. Найти $n$.

Используем формулу суммы:

$$120=\frac{2\cdot3+(n-1)\cdot2}{2}\cdot n.$$

Упрощаем выражение:

$$120=\frac{6+2n-2}{2}\cdot n.$$

$$120=\frac{2n+4}{2}\cdot n.$$

$$120=(n+2)n.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$n^2+2n-120=0.$$

Разложим левую часть на множители:

$$(n+12)(n-10)=0.$$

Отсюда

$$n=-12$$

или

$$n=10.$$

Количество членов не может быть отрицательным, поэтому

$$n=10.$$

Ответ: $\boxed{10}$

После решения уравнения обязательно проверяй смысл найденных корней. Количество членов, дней или рядов должно быть натуральным числом.

Как выбрать нужную формулу

Для арифметической прогрессии:

Для геометрической прогрессии:

Лучшая формула — не самая сложная, а та, в которой известны все величины, кроме одной.

Частые ошибки в арифметической прогрессии

Путать $n$ и $n-1$

Неверно:

$$a_5=a_1+5d.$$

Правильно:

$$a_5=a_1+4d.$$

Между первым и пятым членами четыре перехода.

Путать член и сумму

Если за десять дней изготовили $300$ деталей, то

$$S_{10}=300,$$

а не

$$a_{10}=300.$$

Не учитывать знак разности

Если значение ежедневно уменьшается на $4$, то

$$d=-4.$$

Искать лишние величины

Если известны $S_n$ и $a_1+a_n$, можно сразу использовать:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$$

По отдельности находить $a_1$, $a_n$ и $d$ не требуется.

Отвечать не на тот вопрос

В ходе решения можно найти разность $d$, хотя задача спрашивает значение четвёртого дня $a_4$.

После вычислений перечитай вопрос и проверь, какая именно величина должна оказаться в ответе.

Частые ошибки в геометрической прогрессии

Прибавлять знаменатель

Неверно:

$$b_{n+1}=b_n+q.$$

Правильно:

$$b_{n+1}=b_nq.$$

Знаменатель геометрической прогрессии — множитель, а не прибавка.

Писать степень $n$

Неверно:

$$b_n=b_1q^n.$$

Правильно:

$$b_n=b_1q^{n-1}.$$

Неправильно переводить проценты

Увеличение на $20\%$ означает:

$$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$

Уменьшение на $20\%$ означает:

$$q=1-\frac{20}{100}=0{,}8.$$

Забывать случай $q=1$

При $q=1$ нельзя использовать формулу

$$S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1},$$

потому что знаменатель будет равен нулю.

В этом случае все члены одинаковы и

$$S_n=nb_1.$$

Терять отрицательное значение знаменателя

Из равенства

$$q^2=25$$

следует:

$$q=5$$

или

$$q=-5.$$

Отрицательное значение можно отбросить только при наличии подходящего условия.

Как оформлять решение задания ЕГЭ

В задании с кратким ответом не требуется записывать длинные объяснения. Однако во время подготовки полезно соблюдать чёткую структуру.

Сначала выпиши данные:

$$a_1=10,\qquad n=16,\qquad S_{16}=640.$$

Затем запиши, что нужно найти:

$$a_4.$$

Выбери формулу:

$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$

Подставь данные:

$$640=\frac{20+15d}{2}\cdot16.$$

Реши уравнение:

$$640=8(20+15d).$$

$$80=20+15d.$$

$$60=15d.$$

$$d=4.$$

Теперь ответь именно на вопрос:

$$a_4=a_1+(4-1)d.$$

$$a_4=10+3\cdot4=22.$$

Ответ: $\boxed{22}$

Такая запись помогает не остановиться раньше времени после нахождения промежуточной величины.

Быстрая проверка ответа

После решения полезно выполнить короткую проверку.

Для арифметической прогрессии проверь:

• использовано ли $n-1$;
• правильно ли выбран знак $d$;
• не перепутаны ли $a_n$ и $S_n$;
• является ли количество членов натуральным числом;
• соответствует ли ответ вопросу.

Для геометрической прогрессии проверь:

• действительно ли члены умножаются, а не складываются;
• правильно ли найдена степень;
• правильно ли переведены проценты;
• рассмотрен ли отрицательный знаменатель;
• выполняется ли условие $|q|<1$ для бесконечной суммы.

Иногда полезно выписать первые несколько членов вручную. Если формула дала результат, не совпадающий с очевидным продолжением последовательности, значит, в вычислениях допущена ошибка.

Краткая памятка по арифметической прогрессии

Определение:

$$> a_{n+1}=a_n+d >$$

Разность:

$$> d=a_{n+1}-a_n >$$

Формула общего члена:

$$> a_n=a_1+(n-1)d >$$

Связь произвольных членов:

$$> a_m=a_k+(m-k)d >$$

Сумма первых $n$ членов:

$$> S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n >$$

$$> S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n >$$

Свойство среднего члена:

$$> 2a_n=a_{n-1}+a_{n+1} >$$

Краткая памятка по геометрической прогрессии

Определение:

$$> b_{n+1}=b_nq >$$

Знаменатель:

$$> q=\frac{b_{n+1}}{b_n} >$$

Формула общего члена:

$$> b_n=b_1q^{n-1} >$$

Связь произвольных членов:

$$> b_m=b_kq^{m-k} >$$

Сумма первых $n$ членов при $q\ne1$:

$$> S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1} >$$

Сумма при $q=1$:

$$> S_n=nb_1 >$$

Свойство среднего члена:

$$> b_n^2=b_{n-1}b_{n+1} >$$

Сумма бесконечно убывающей прогрессии:

$$> S=\frac{b_1}{1-q},\qquad |q|<1 >$$

Тренировочные задания на арифметическую прогрессию

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

1. В арифметической прогрессии $a_1=7$, $d=5$. Найдите $a_{12}$.
2. В арифметической прогрессии $a_1=20$, $d=-3$. Найдите $a_8$.
3. Дана прогрессия $4,\ 9,\ 14,\ldots$. Найдите $a_{20}$.
4. Известно, что $a_6=17$, $d=4$. Найдите $a_{15}$.
5. Известно, что $a_3=11$, $a_9=35$. Найдите $d$.
6. Числа $8$, $x$ и $24$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Найдите $x$.
7. Найдите сумму первых десяти членов прогрессии $3,\ 7,\ 11,\ldots$
8. В арифметической прогрессии $a_1=8$, $a_{12}=41$. Найдите $S_{12}$.
9. Известно, что $a_1+a_{20}=50$. Найдите $S_{20}$.
10. В арифметической прогрессии $a_1=5$, $d=3$. Найдите $S_{15}$.

Ответы:

1. $62$.
2. $-1$.
3. $99$.
4. $53$.
5. $4$.
6. $16$.
7. $210$.
8. $294$.
9. $500$.
10. $390$.

Тренировочные задачи в формате ЕГЭ

1. Рабочий изготовил за несколько дней $360$ деталей. Каждый день он изготавливал на одно и то же число деталей больше, чем в предыдущий. За первый и последний дни вместе он изготовил $72$ детали. Сколько дней работал рабочий?

2. Ученик решил за $12$ дней $300$ задач. В первый день он решил $14$ задач, а затем ежедневно увеличивал количество решённых задач на одно и то же число. Сколько задач он решил в последний день?

3. Турист прошёл за $8$ дней $184$ километра. В первый день он прошёл $9$ километров, а каждый следующий день проходил на одно и то же расстояние больше. Сколько километров он прошёл в четвёртый день?

4. Мастер изготовил за $10$ дней $320$ деталей. В первый день он изготовил $14$ деталей, а каждый следующий день — на одно и то же число больше. На сколько деталей мастер ежедневно увеличивал результат?

5. Бригада выполняла работу в течение $15$ дней. В первый день было выполнено $12$ единиц работы, в последний — $54$. Каков общий объём работы?

6. В первом ряду зала $15$ мест, а в каждом следующем на $3$ места больше. Сколько мест находится в первых $12$ рядах?

7. Спортсмен в первый день выполнил $40$ упражнений, а затем ежедневно уменьшал их количество на $3$. Сколько упражнений он выполнил за первые $9$ дней?

Ответы:

1. $10$.
2. $36$.
3. $21$.
4. $4$.
5. $495$.
6. $378$.
7. $252$.

Тренировочные задания на геометрическую прогрессию

1. В геометрической прогрессии $b_1=3$, $q=2$. Найдите $b_7$.
2. В геометрической прогрессии $b_1=64$, $q=\frac12$. Найдите $b_6$.
3. Дана прогрессия $5,\ 15,\ 45,\ldots$. Найдите $b_5$.
4. Известно, что $b_2=12$, $q=3$. Найдите $b_6$.
5. Положительные числа $2$, $x$, $18$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите $x$.
6. Найдите сумму первых пяти членов прогрессии $1,\ 2,\ 4,\ldots$
7. В геометрической прогрессии $b_1=3$, $q=3$. Найдите $S_4$.
8. В геометрической прогрессии $b_1=32$, $q=\frac12$. Найдите $S_5$.
9. Найдите сумму первых шести членов прогрессии $2,\ 4,\ 8,\ldots$
10. Найдите сумму бесконечно убывающей прогрессии, если $b_1=12$, $q=\frac13$.

Ответы:

1. $192$.
2. $2$.
3. $405$.
4. $972$.
5. $6$.
6. $31$.
7. $120$.
8. $62$.
9. $126$.
10. $18$.

Мини-тест на определение вида прогрессии

Определи вид каждой прогрессии и найди её постоянную величину.

1. $6,\ 10,\ 14,\ 18,\ldots$
2. $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots$
3. $25,\ 20,\ 15,\ 10,\ldots$
4. $81,\ 27,\ 9,\ 3,\ldots$
5. $7,\ 7,\ 7,\ 7,\ldots$
6. $3,\ -6,\ 12,\ -24,\ldots$

Ответы:

1. Арифметическая, $d=4$.
2. Геометрическая, $q=3$.
3. Арифметическая, $d=-5$.
4. Геометрическая, $q=\frac13$.
5. Можно рассматривать как арифметическую с $d=0$ и как геометрическую с $q=1$.
6. Геометрическая, $q=-2$.

Итог

Прогрессии становятся понятными, когда перестаёшь воспринимать их как набор несвязанных формул.

Арифметическая прогрессия описывает процессы с постоянной прибавкой:

$$a_1,\quad a_1+d,\quad a_1+2d,\quad a_1+3d,\ldots$$

Геометрическая прогрессия описывает процессы с постоянным множителем:

$$b_1,\quad b_1q,\quad b_1q^2,\quad b_1q^3,\ldots$$

Для решения задач ЕГЭ особенно важно научиться переводить текст на язык обозначений:

• первый день — $a_1$ или $b_1$;
• последний день — $a_n$ или $b_n$;
• количество дней — $n$;
• ежедневное увеличение на одно и то же число — $d$;
• общий объём — $S_n$;
• увеличение в одно и то же число раз — $q$;
• увеличение на $p\%$ — множитель $1+\dfrac{p}{100}$;
• уменьшение на $p\%$ — множитель $1-\dfrac{p}{100}$.

После такого перевода длинное условие обычно превращается в подстановку чисел в одну подходящую формулу.

Минимальный набор, который нужно знать уверенно:

• определение арифметической прогрессии;
• формулу $a_n=a_1+(n-1)d$;
• формулы суммы арифметической прогрессии;
• различие между $a_n$ и $S_n$;
• определение геометрической прогрессии;
• формулу $b_n=b_1q^{n-1}$;
• формулу суммы геометрической прогрессии;
• перевод процентного изменения в множитель;
• различие между словами «на несколько больше» и «в несколько раз больше»;
• смысл всех величин в текстовой задаче.

Прогрессии = постоянная закономерность + правильный перевод условия + подходящая формула + внимательная проверка ответа.

И последний совет: не пытайся решить текстовую задачу целиком в уме. Сначала выпиши данные:

$$a_1=\ldots,\qquad d=\ldots,\qquad n=\ldots,\qquad S_n=\ldots$$

Затем отдельно запиши, что требуется найти. Только после этого выбирай формулу.

Такая привычка занимает несколько секунд, но защищает от большинства ошибок в задачах на прогрессии.