Как системно разобраться в тригонометрии?

1. Что такое тригонометрия и зачем она вообще нужна

Начнём с честного разговора. Многие считают тригонометрию самой запутанной темой школьной программы. Формул много, углы какие-то странные, вместо чисел появляются буквы $\pi$, а в ответах вместо одного числа получается бесконечная серия решений.

Но если разобраться, вся тригонометрия держится на одной простой идее.

Представь круг. По нему бегает точка. Чем дальше точка убежала по кругу, тем больше угол поворота. А у любой точки на плоскости есть две координаты: одна по горизонтали, другая по вертикали. Вот эти две координаты и есть синус с косинусом.

То есть тригонометрия — это просто способ описать числами, куда именно повернулась точка.

Главные тригонометрические функции такие:

$$\sin x, \qquad \cos x, \qquad \operatorname{tg} x, \qquad \operatorname{ctg} x$$

Читаются они как «синус икс», «косинус икс», «тангенс икс» и «котангенс икс». Здесь $x$ — это угол, а сама функция — это число, которое этому углу соответствует.

Основная идея тригонометрии: каждому углу можно поставить в соответствие числа $\sin x$, $\cos x$, $\operatorname{tg} x$, $\operatorname{ctg} x$. Эти числа зависят только от того, где находится точка на единичной окружности.

В школе тригонометрия нужна для решения уравнений и неравенств, преобразования выражений, работы с графиками и для задач ЕГЭ — как в первой части, так и в номере 13.

2. Градусы и радианы: две системы измерения углов

Углы можно измерять двумя способами, и оба тебе встретятся.

Первый способ знаком со средней школы — градусы. Полный оборот вокруг центра равен

$$360^\circ$$

Второй способ — радианы. Это может показаться странным, но полный оборот в радианах равен

$$2\pi$$

Откуда взялось такое число? Радиан — это угол, которому соответствует дуга длиной ровно в один радиус. А вся длина окружности радиуса $1$ равна $2\pi$. Значит, в полном обороте укладывается $2\pi$ радиусов, то есть $2\pi$ радиан.

Раз полный оборот — это одновременно $360^\circ$ и $2\pi$, то половина оборота даёт нам главное соотношение:

$$180^\circ = \pi$$

Из этого равенства получаются обе формулы перевода. Разделим обе части на $180$:

$$1^\circ = \frac{\pi}{180}$$

А если разделим обе части на $\pi$:

$$1\ \text{радиан} = \frac{180^\circ}{\pi}$$

Запоминать нужно только одно: $180^\circ = \pi$. Остальное выводится за пару секунд.

Самые частые углы полезно знать наизусть, чтобы не пересчитывать каждый раз.

Пример. Перевести $120^\circ$ в радианы.

Логика простая: один градус — это $\dfrac{\pi}{180}$. Значит, сто двадцать градусов — это сто двадцать таких кусочков:

$$120^\circ = 120 \cdot \frac{\pi}{180}$$

Теперь сокращаем дробь. Числа $120$ и $180$ делятся на $60$:

$$120^\circ = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{2\pi}{3}}$

Пример. Перевести $\frac{5\pi}{6}$ в градусы.

Здесь идём в обратную сторону. Вместо $\pi$ подставляем $180^\circ$:

$$\frac{5\pi}{6} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{6}$$

Считаем: $5 \cdot 180 = 900$, делим на $6$:

$$\frac{900^\circ}{6} = 150^\circ$$

Ответ: $\boxed{150^\circ}$

Правило-шпаргалка. Из градусов в радианы — умножаем на $\dfrac{\pi}{180}$. Из радиан в градусы — вместо $\pi$ пишем $180^\circ$.

3. Единичная окружность: главный инструмент темы

Если ты усвоишь только один раздел из всей статьи, пусть это будет именно этот. Единичная окружность объясняет почти все свойства тригонометрических функций.

Единичная окружность — это окружность радиуса $1$ с центром в начале координат.

Работает она так. Берём точку $(1;0)$ — она справа, на пересечении окружности с осью $x$. Это наш старт, угол $0$. Дальше начинаем крутить точку против часовой стрелки. Угол поворота обозначим $x$.

Когда точка повернулась на угол $x$, она встала в какое-то новое место. У этого места есть координаты. И вот главное:

$$(\cos x;\ \sin x)$$

То есть косинус — это первая координата, горизонтальная. А синус — вторая, вертикальная. Косинус — это абсцисса точки, синус — её ордината.

На единичной окружности точка, соответствующая углу $x$, имеет координаты $$\boxed{M(x) = (\cos x;\ \sin x)}$$

Из этой картинки сразу вылезает важное следствие. Точка бегает по окружности радиуса $1$, значит, она никогда не уйдёт дальше единицы ни вправо, ни влево, ни вверх, ни вниз. Поэтому:

$$-1 \le \sin x \le 1, \qquad -1 \le \cos x \le 1$$

Запомни это как факт: синус и косинус физически не могут быть больше единицы или меньше минус единицы. Если в решении получилось $\sin x = 3$, значит, где-то ошибка или уравнение просто не имеет решений.

4. Знаки функций по четвертям

Оси координат делят окружность на четыре части — четверти. Нумеруют их против часовой стрелки, начиная с правой верхней.

Дальше всё логично: знак синуса и косинуса — это просто знак координаты точки.

В первой четверти точка находится справа и вверху, значит, обе координаты положительные. Во второй четверти точка слева и вверху: горизонтальная координата отрицательная, вертикальная положительная. И так далее.

Тангенс и котангенс отдельно запоминать не нужно. Они выражаются через синус и косинус:

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

А знак дроби определяется по правилу знаков. Если синус и косинус одного знака, дробь положительна. Если разных — отрицательна. Отсюда сразу получаем:

Не заучивай таблицы знаков механически. Нарисуй окружность, поставь точку в нужной четверти и посмотри на её координаты. Это быстрее и надёжнее.

5. Табличные значения: то, что надо знать наизусть

Есть пять углов, значения функций для которых обязаны выскакивать в голове мгновенно. Без них не получится решить ни одно уравнение.

Обрати внимание на два момента.

Во-первых, строчка синуса и строчка косинуса — это одни и те же числа, только записанные в обратном порядке. Достаточно выучить одну строку.

Во-вторых, тангенс при $x = \frac{\pi}{2}$ не существует. Причина простая: $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, а на ноль делить нельзя. По той же причине котангенс не существует при $x = 0$, ведь там $\sin 0 = 0$.

Пример. Найти $\sin\frac{\pi}{3}$, $\cos\frac{\pi}{3}$, $\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}$.

Смотрим в таблицу, столбец $\frac{\pi}{3}$:

$$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos\frac{\pi}{3} = \frac12$$

Тангенс можно взять из таблицы, а можно проверить себя делением:

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} = \frac{\sqrt3}{2} \cdot 2 = \sqrt3$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{\sqrt3}{2};\ \dfrac12;\ \sqrt3}$

6. Периодичность: почему решений бесконечно много

Вернёмся к нашей точке на окружности. Если она сделала полный оборот, она вернулась туда же, откуда начала. Координаты стали ровно такими же, какими были.

Значит, угол $x$ и угол $x + 2\pi$ дают одинаковые синус и косинус:

$$\sin(x + 2\pi) = \sin x, \qquad \cos(x + 2\pi) = \cos x$$

Такое свойство называется периодичностью, а число $2\pi$ — периодом.

С тангенсом и котангенсом интереснее. Их период равен не $2\pi$, а всего $\pi$:

$$\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg} x, \qquad \operatorname{ctg}(x + \pi) = \operatorname{ctg} x$$

Почему в два раза меньше? Потому что при повороте на $\pi$ точка оказывается ровно с противоположной стороны окружности, и обе её координаты меняют знак. А в дроби два минуса сокращаются:

$$\frac{-\sin x}{-\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x}$$

Периоды: $$\boxed{T_{\sin} = 2\pi, \qquad T_{\cos} = 2\pi, \qquad T_{\operatorname{tg}} = \pi, \qquad T_{\operatorname{ctg}} = \pi}$$

Пример. Найти $\sin\frac{13\pi}{6}$.

Такого угла в таблице нет, он больше полного оборота. Значит, нужно «отмотать» лишние обороты.

Разложим угол так, чтобы выделить полный оборот $2\pi$. Заметим, что $2\pi = \frac{12\pi}{6}$, поэтому:

$$\frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$$

Мы сделали ровно один полный оборот и добавили ещё $\frac{\pi}{6}$. Полный оборот на значение синуса не влияет:

$$\sin\frac{13\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6} = \frac12$$

Ответ: $\boxed{\dfrac12}$

7. Чётность и нечётность

Что будет, если крутить точку не против часовой стрелки, а по часовой? Это и означает отрицательный угол.

Точка при этом окажется симметрично отражённой относительно оси $x$. Горизонтальная координата останется той же, а вертикальная поменяет знак.

Горизонтальная координата — это косинус, поэтому он не меняется:

$$\cos(-x) = \cos x$$

Функции с таким свойством называют чётными.

Вертикальная координата — это синус, он меняет знак:

$$\sin(-x) = -\sin x$$

Это нечётная функция. Тангенс и котангенс тоже нечётные, потому что в дроби меняет знак ровно одна часть.

$$\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x, \qquad \operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$$

Проще всего запомнить так: из всей четвёрки чётный только косинус. Все остальные нечётные.

Пример. Найти $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.

Косинус чётный, поэтому минус перед углом можно просто убрать:

$$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac12$$

Ответ: $\boxed{\dfrac12}$

8. Формулы приведения

Формулы приведения нужны, когда угол записан не как простое $x$, а как что-то вроде

$$\sin(\pi - x), \quad \cos(\pi + x), \quad \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$$

Задача — избавиться от $\pi$ в аргументе и оставить только $x$.

Формул таких много, и заучивать все — плохая идея. Лучше запомнить два правила, из которых всё следует.

Правило 1 (меняется ли название). Если в угле стоит $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$, то функция меняется на «парную»: синус становится косинусом, косинус — синусом, тангенс — котангенсом. Если стоит $\pi$ или $2\pi$, название функции остаётся тем же.

Правило 2 (какой знак). Определи, в какой четверти лежит исходный угол, если считать $x$ маленьким острым углом. Знак результата совпадает со знаком исходной функции в этой четверти.

Разберём на примере. Возьмём $\cos(\pi + x)$.

Сначала название. В угле стоит $\pi$, значит, косинус остаётся косинусом.

Теперь знак. Если $x$ — маленький положительный угол, то $\pi + x$ чуть больше $\pi$, то есть мы в третьей четверти. Косинус в третьей четверти отрицателен. Значит, впереди будет минус:

$$\cos(\pi + x) = -\cos x$$

По этой схеме получаются все остальные формулы. Вот основные для $\pi$ и $2\pi$:

$$\sin(\pi - x) = \sin x, \qquad \sin(\pi + x) = -\sin x, \qquad \sin(2\pi - x) = -\sin x$$

$$\cos(\pi - x) = -\cos x, \qquad \cos(\pi + x) = -\cos x, \qquad \cos(2\pi - x) = \cos x$$

И формулы с $\frac{\pi}{2}$, где название функции меняется:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x, \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x, \qquad \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$$

Пример. Упростить $\sin(\pi - x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$.

Работаем с каждым слагаемым по отдельности.

Первое слагаемое: в угле $\pi$, значит, название сохраняется — остаётся синус. Угол $\pi - x$ лежит во второй четверти, а там синус положителен:

$$\sin(\pi - x) = \sin x$$

Второе слагаемое: в угле $\frac{\pi}{2}$, значит, косинус меняется на синус. Угол $\frac{\pi}{2} + x$ лежит во второй четверти, а там косинус отрицателен, поэтому ставим минус:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$$

Складываем:

$$\sin x + (-\sin x) = \sin x - \sin x = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

9. Основное тригонометрическое тождество

Это самая важная формула всей темы:

$$\boxed{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}$$

Откуда она берётся? Опять из единичной окружности. Точка имеет координаты $(\cos x; \sin x)$, а расстояние от неё до центра равно радиусу, то есть $1$. По теореме Пифагора квадрат расстояния равен сумме квадратов координат. Получаем ровно нашу формулу.

То есть основное тождество — это теорема Пифагора, записанная через синус и косинус.

На практике его чаще используют в перевёрнутом виде, чтобы выразить одно через другое:

$$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x, \qquad \cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$

Определения тангенса и котангенса тоже стоит держать под рукой, вместе с ограничениями:

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \cos x \ne 0, \qquad \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}, \quad \sin x \ne 0$$

И два тождества, которые получаются, если поделить основное тождество на $\cos^2 x$ или на $\sin^2 x$:

$$1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}, \qquad 1 + \operatorname{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$$

Пример. Известно, что $\cos x = \frac35$, причём $x$ лежит в первой четверти. Найти $\sin x$.

Такие задачи решаются в три шага: подставили в тождество, извлекли корень, выбрали знак.

Шаг 1. Берём основное тождество и выражаем синус:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \quad \Longrightarrow \quad \sin^2 x = 1 - \cos^2 x$$

Подставляем известное значение:

$$\sin^2 x = 1 - \left(\frac35\right)^2 = 1 - \frac{9}{25}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\sin^2 x = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

Шаг 2. Извлекаем корень. Здесь важно: корень даёт два варианта, потому что и $\frac45$, и $-\frac45$ при возведении в квадрат дают $\frac{16}{25}$:

$$\sin x = \pm\frac45$$

Шаг 3. Выбираем нужный знак. В условии сказано, что $x$ в первой четверти, а там синус положителен. Значит, минус отбрасываем:

$$\sin x = \frac45$$

Ответ: $\boxed{\dfrac45}$

Про третий шаг забывают чаще всего. Если в условии указана четверть, её обязательно нужно использовать — иначе ответ будет неполным или неверным.

10. Формулы сложения

Очень частая ошибка новичка — считать, что $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta$. Так нельзя. Синус не «раскрывается» как скобка, для суммы углов есть отдельные формулы:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$

$$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$

Обрати внимание на знаки. У синуса знак в формуле такой же, как в скобке. У косинуса — противоположный: для суммы углов ставим минус, для разности плюс. Это легко перепутать, поэтому проверяй каждый раз.

Для тангенса формулы такие:

$$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}, \qquad \operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$$

Пример. Найти $\sin 75^\circ$.

Угла $75^\circ$ в таблице нет. Но его можно собрать из двух табличных углов. Подбираем так, чтобы оба слагаемых были знакомыми:

$$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$$

Применяем формулу синуса суммы, где $\alpha = 45^\circ$, $\beta = 30^\circ$:

$$\sin 75^\circ = \sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ$$

Теперь подставляем табличные значения:

$$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12$$

Перемножаем дроби. В первом слагаемом $\sqrt2 \cdot \sqrt3 = \sqrt6$:

$$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt6}{4} + \frac{\sqrt2}{4}$$

Знаменатели одинаковые, складываем числители:

$$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}}$

11. Формулы двойного угла

Формулы двойного угла — это просто формулы сложения, в которых оба угла одинаковые. Подставь $\beta = \alpha$ в формулу синуса суммы, и получишь первую из них.

$$\sin 2x = 2\sin x\cos x$$

$$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$$

У косинуса двойного угла есть ещё две версии. Они получаются, если в основную формулу подставить $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ или $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1, \qquad \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$

Зачем три варианта? Чтобы выбирать удобный. Если в задаче есть только косинусы, берёшь версию с косинусом. Если только синусы — версию с синусом.

Для тангенса:

$$\operatorname{tg} 2x = \frac{2\operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x}$$

Пример. Известно, что $\sin x = \frac35$ и $\cos x = \frac45$. Найти $\sin 2x$.

Здесь всё прямо: берём формулу и подставляем.

$$\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2 \cdot \frac35 \cdot \frac45$$

Считаем: $3 \cdot 4 = 12$, $5 \cdot 5 = 25$, не забываем двойку:

$$\sin 2x = \frac{2 \cdot 12}{25} = \frac{24}{25}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{24}{25}}$

12. Формулы половинного угла

Эти формулы работают в обратную сторону: зная косинус целого угла, находим функции половинного.

$$\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}, \qquad \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$$

Они получаются из формул двойного угла. Например, возьмём $\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$ и выразим $\sin^2 t$. Если теперь обозначить $2t = x$, то $t = \frac{x}{2}$, и мы получаем первую формулу.

Ещё два полезных варианта для тангенса:

$$\operatorname{tg}\frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}, \qquad \operatorname{tg}\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$$

Пример. Найти $\sin^2\frac{x}{2}$, если $\cos x = \frac13$.

Подставляем в формулу:

$$\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 - \frac13}{2}$$

Разбираемся с числителем: $1 - \frac13 = \frac23$. Получается дробь в дроби:

$$\sin^2\frac{x}{2} = \frac{\frac23}{2} = \frac23 \cdot \frac12 = \frac13$$

Ответ: $\boxed{\dfrac13}$

13. Из суммы в произведение

Эти формулы нужны, когда в уравнении стоит сумма или разность двух синусов либо косинусов. Превратив сумму в произведение, можно потом приравнять множители к нулю — а это уже решаемо.

$$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$

$$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$$

$$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$

$$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$$

Общая схема у всех одна: двойка, потом две функции от полусуммы и полуразности углов. Меняются только названия функций и знак.

Пример. Упростить $\sin 5x + \sin 3x$.

Перед нами сумма двух синусов, значит, берём первую формулу. Определяем, что есть $\alpha$, а что $\beta$:

$$\alpha = 5x, \qquad \beta = 3x$$

Считаем полусумму и полуразность:

$$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{5x + 3x}{2} = 4x, \qquad \frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{5x - 3x}{2} = x$$

Подставляем в формулу:

$$\sin 5x + \sin 3x = 2\sin 4x\cos x$$

Ответ: $\boxed{2\sin 4x\cos x}$

14. Из произведения в сумму

Бывает и обратная ситуация: произведение нужно разложить в сумму.

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac12\left(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\right)$$

$$\cos\alpha\cos\beta = \frac12\left(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)\right)$$

$$\sin\alpha\sin\beta = \frac12\left(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\right)$$

Пример. Преобразовать $2\sin 3x\cos x$.

Здесь уже стоит двойка, которая как раз погасит множитель $\frac12$ из формулы. Берём $\alpha = 3x$, $\beta = x$:

$$2\sin 3x\cos x = \sin(3x + x) + \sin(3x - x)$$

Складываем и вычитаем углы:

$$2\sin 3x\cos x = \sin 4x + \sin 2x$$

Ответ: $\boxed{\sin 4x + \sin 2x}$

15. Простейшие тригонометрические уравнения

Теперь переходим к главному практическому навыку. Простейшими называют уравнения вида $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\operatorname{tg} x = a$, $\operatorname{ctg} x = a$. К ним в итоге сводится почти любое тригонометрическое уравнение.

Ключевая особенность: решений всегда бесконечно много. Это прямое следствие периодичности. Если точка на окружности встала в нужное место, то после полного оборота она снова окажется там же. Поэтому в ответе появляется добавка вида $2\pi n$ или $\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Уравнение $\sin x = a$

Синус — это вертикальная координата точки, а она не выходит за пределы от $-1$ до $1$. Поэтому решения есть только при

$$-1 \le a \le 1$$

Если $a$ вне этого отрезка, уравнение решений не имеет, и это законный ответ.

Общая формула:

$$\boxed{x = (-1)^n\arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$

На практике удобнее и понятнее записывать ответ двумя сериями. Дело в том, что нужная высота на окружности достигается в двух точках — справа и слева:

$$x = \arcsin a + 2\pi n, \qquad x = \pi - \arcsin a + 2\pi n, \qquad n \in \mathbb{Z}$$

Уравнение $\cos x = a$

Здесь то же ограничение:

$$-1 \le a \le 1$$

Общее решение:

$$\boxed{x = \pm\arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$

Знак $\pm$ появляется потому, что нужная горизонтальная координата достигается в двух точках, симметричных относительно оси $x$.

Уравнения $\operatorname{tg} x = a$ и $\operatorname{ctg} x = a$

А вот тангенс и котангенс могут принимать абсолютно любые значения. Никаких ограничений на $a$ нет.

$$\boxed{x = \operatorname{arctg} a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$

$$\boxed{x = \operatorname{arcctg} a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$

Заметь: добавка здесь $\pi n$, а не $2\pi n$. Причина та же — период тангенса равен $\pi$.

У синуса и косинуса добавляем $2\pi n$. У тангенса и котангенса — $\pi n$. Путаница в этом месте стоит целых баллов на экзамене.

16. Пример 1. Уравнение с синусом

Задача. Решить уравнение $\sin x = \frac12$.

Шаг 1. Проверяем, есть ли решения. Число $\frac12$ лежит между $-1$ и $1$, значит, всё в порядке.

Шаг 2. Ищем опорный угол. Вспоминаем таблицу: синус равен $\frac12$ при угле $\frac{\pi}{6}$.

$$\sin\frac{\pi}{6} = \frac12$$

Шаг 3. Ищем все точки на окружности. Нам нужна высота $\frac12$. Таких точек на окружности две: одна в первой четверти, другая во второй (синус положителен именно там). Первая — это $\frac{\pi}{6}$. Вторая симметрична ей относительно вертикальной оси, её угол равен

$$\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$

Шаг 4. Добавляем периодичность. К каждой серии дописываем $2\pi n$:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \qquad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \qquad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $\boxed{x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\ \ x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ \ n \in \mathbb{Z}}$

17. Пример 2. Уравнение с косинусом

Задача. Решить уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt2}{2}$.

Значение отрицательное, но по модулю меньше единицы — решения есть.

Шаг 1. Опорный угол. Забудем на минуту про минус. Косинус равен $\frac{\sqrt2}{2}$ при угле $\frac{\pi}{4}$. Это наш опорный угол.

Шаг 2. Где косинус отрицателен. Косинус — горизонтальная координата, она отрицательна слева от оси $y$, то есть во второй и третьей четвертях.

Шаг 3. Находим сами углы. Во второй четверти:

$$\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

В третьей четверти:

$$\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$$

Записываем обе серии:

$$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \qquad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \qquad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4. Сокращаем запись. Заметим, что $\frac{5\pi}{4}$ и $-\frac{3\pi}{4}$ — это одна и та же точка на окружности, они отличаются на полный оборот $2\pi$. Поэтому две серии сворачиваются в одну:

$$x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \qquad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $\boxed{x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ \ n \in \mathbb{Z}}$

18. Пример 3. Уравнение с тангенсом

Задача. Решить уравнение $\operatorname{tg} x = \sqrt3$.

С тангенсом всё проще: ограничений на правую часть нет, и серия решений всего одна.

По таблице:

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt3$$

Период тангенса равен $\pi$, поэтому добавляем $\pi n$:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \qquad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $\boxed{x = \dfrac{\pi}{3} + \pi n,\ \ n \in \mathbb{Z}}$

19. Уравнения, которые сводятся к простейшим

Большинство уравнений в контрольных выглядят чуть страшнее простейших. Но идея всегда одна: привести к виду «функция равна числу».

Задача. Решить уравнение $2\sin x - 1 = 0$.

Действуем как с обычным линейным уравнением, считая $\sin x$ неизвестным. Переносим единицу вправо:

$$2\sin x = 1$$

Делим обе части на $2$:

$$\sin x = \frac12$$

А это уравнение мы уже решали в примере 1. Дальше просто повторяем результат:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \qquad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \qquad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $\boxed{x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\ \ x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ \ n \in \mathbb{Z}}$

20. Уравнения с заменой переменной

Посмотри на такое уравнение:

$$2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$$

Если мысленно закрыть $\sin x$ пальцем и представить вместо него букву $t$, получится обычное квадратное уравнение

$$2t^2 - 3t + 1 = 0$$

Это и есть метод замены. Он превращает страшное тригонометрическое уравнение в знакомое квадратное.

Задача. Решить уравнение $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.

Шаг 1. Вводим замену и сразу пишем ограничение.

$$t = \sin x$$

Синус не может выйти за пределы отрезка от $-1$ до $1$, поэтому

$$-1 \le t \le 1$$

Это ограничение обязательно нужно записать сразу, иначе потом легко забыть проверить корни.

Шаг 2. Решаем квадратное уравнение.

$$2t^2 - 3t + 1 = 0$$

Разложим левую часть на множители:

$$(2t - 1)(t - 1) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$t = \frac12 \qquad \text{или} \qquad t = 1$$

Шаг 3. Проверяем ограничение. Оба числа лежат на отрезке $[-1; 1]$, значит, оба подходят. Если бы получилось, например, $t = 2$, этот корень пришлось бы выбросить.

Шаг 4. Возвращаемся к переменной $x$. Замена $t = \sin x$ даёт два простейших уравнения:

$$\sin x = \frac12 \qquad \text{или} \qquad \sin x = 1$$

Первое уже решали:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \qquad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Второе: синус равен единице только в самой верхней точке окружности, а это угол $\frac{\pi}{2}$. Тут серия одна:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$

21. Однородные тригонометрические уравнения

Однородным называют уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же суммарную степень по синусу и косинусу.

Например:

$$2\sin^2 x - 3\sin x\cos x + \cos^2 x = 0$$

Проверим: $\sin^2 x$ — вторая степень, $\sin x\cos x$ — тоже вторая (один синус плюс один косинус), $\cos^2 x$ — вторая. Всё сходится, уравнение однородное второй степени.

Такие уравнения решают делением на $\cos^2 x$. После деления всё превращается в уравнение относительно тангенса.

Схема для однородного уравнения: убедиться, что $\cos x \ne 0$, поделить всё на $\cos^2 x$, сделать замену $t = \operatorname{tg} x$.

Задача. Решить уравнение $2\sin^2 x - 3\sin x\cos x + \cos^2 x = 0$.

Шаг 1. Проверяем, можно ли делить. Делить на ноль нельзя, поэтому сначала выясним, бывает ли $\cos x = 0$ решением.

Предположим, что $\cos x = 0$. Тогда из основного тождества $\sin^2 x = 1$. Подставим в уравнение:

$$2 \cdot 1 - 3\sin x \cdot 0 + 0 = 2$$

Получилось $2 \ne 0$, то есть равенство не выполняется. Значит, при $\cos x = 0$ решений нет, и мы имеем полное право делить на $\cos^2 x$.

Шаг 2. Делим каждое слагаемое на $\cos^2 x$.

$$\frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{3\sin x\cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

Разбираем по частям. Первая дробь — это $2\operatorname{tg}^2 x$. Во второй дроби один косинус сокращается, остаётся $3\operatorname{tg} x$. Третья дробь равна единице:

$$2\operatorname{tg}^2 x - 3\operatorname{tg} x + 1 = 0$$

Шаг 3. Замена. Пусть $t = \operatorname{tg} x$. Здесь ограничений на $t$ нет, потому что тангенс принимает любые значения:

$$2t^2 - 3t + 1 = 0, \qquad (2t - 1)(t - 1) = 0$$

$$t = \frac12 \qquad \text{или} \qquad t = 1$$

Шаг 4. Возврат к $x$.

$$\operatorname{tg} x = \frac12 \qquad \text{или} \qquad \operatorname{tg} x = 1$$

Первое значение не табличное, поэтому ответ оставляем через арктангенс. Второе табличное: $\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Ответ:

$$\boxed{x = \operatorname{arctg}\frac12 + \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$

22. Уравнения, где сначала применяют формулы

Задача. Решить уравнение $\sin 2x = \sin x$.

Сразу бросается в глаза проблема: слева угол $2x$, справа угол $x$. Пока углы разные, работать неудобно. Значит, первым делом избавляемся от двойного угла.

Шаг 1. Раскрываем двойной угол.

$$\sin 2x = 2\sin x\cos x$$

Уравнение принимает вид:

$$2\sin x\cos x = \sin x$$

Шаг 2. Переносим всё в одну сторону. Заманчиво сократить обе части на $\sin x$, но так делать нельзя: $\sin x$ может быть равен нулю, и мы потеряем решения. Правильно — перенести:

$$2\sin x\cos x - \sin x = 0$$

Шаг 3. Вынести общий множитель.

$$\sin x(2\cos x - 1) = 0$$

Шаг 4. Приравнять каждый множитель к нулю.

$$\sin x = 0 \qquad \text{или} \qquad 2\cos x - 1 = 0$$

Первое уравнение. Синус равен нулю в двух точках окружности: справа ($0$) и слева ($\pi$). Они отличаются на $\pi$, поэтому обе серии сворачиваются в одну:

$$x = \pi n, \qquad n \in \mathbb{Z}$$

Второе уравнение. Выражаем косинус:

$$\cos x = \frac12$$

Косинус равен $\frac12$ при угле $\frac{\pi}{3}$, и есть симметричная точка ниже оси:

$$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \qquad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $\boxed{x = \pi n \quad \text{или} \quad x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$

Главное правило: никогда не сокращай уравнение на выражение с переменной. Вынеси множитель за скобку — так ни одно решение не потеряется.

23. Отбор корней на промежутке

Мы уже привыкли, что тригонометрическое уравнение даёт бесконечную серию решений. Но в задачах ЕГЭ во второй части почти всегда просят не все корни, а только те, что попали в конкретный промежуток. Например:

$$x \in [0; 2\pi], \qquad x \in [-\pi; \pi], \qquad x \in \left[0; \frac{5\pi}{2}\right]$$

Этот этап и называется отбором корней. Технически он несложный, но именно на нём теряют баллы чаще всего.

Отбор корней — это выбор из общей серии только тех значений $x$, которые попадают в заданный промежуток.

Общий алгоритм

1. Решить уравнение и получить общее решение. Обычно оно имеет вид $x = x_0 + Tn$, $n \in \mathbb{Z}$, где $T$ — период серии.
2. Взять каждую серию отдельно. Если получилось две серии, например $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, то с каждой работаем независимо.
3. Подставить серию в двойное неравенство промежутка. Если нужны корни на отрезке $[a; b]$, пишем $a \le x_0 + Tn \le b$.
4. Решить это неравенство относительно $n$. Получится числовой промежуток для $n$, из которого берём только целые значения — ведь $n \in \mathbb{Z}$.
5. Подставить найденные целые $n$ обратно в формулу и посчитать конкретные значения $x$.
6. Записать полученные числа в ответ.

Идея в одном предложении: сначала получаем общую формулу корней, потом ограничиваем номер $n$, используя заданный промежуток.

Разберём на примере

Задача. Найти все корни уравнения $\cos x = \frac12$ на отрезке $[0; 3\pi]$.

Шаг 1. Общее решение. Косинус равен $\frac12$ при опорном угле $\frac{\pi}{3}$, и есть симметричная точка. Значит,

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \qquad \text{и} \qquad x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \qquad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 2. Работаем с первой серией. Подставляем её в условие отрезка:

$$0 \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi$$

Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех трёх частей:

$$-\frac{\pi}{3} \le 2\pi n \le 3\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$$

Разделим всё на $2\pi$. Число $2\pi$ положительное, поэтому знаки неравенства не меняются:

$$-\frac16 \le n \le \frac43$$

Теперь выбираем целые $n$ из этого промежутка. Подходят $n = 0$ и $n = 1$. Считаем корни:

$$n = 0: \quad x = \frac{\pi}{3}, \qquad n = 1: \quad x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$

Шаг 3. Работаем со второй серией.

$$0 \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi$$

Прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям:

$$\frac{\pi}{3} \le 2\pi n \le \frac{10\pi}{3}$$

Делим на $2\pi$:

$$\frac16 \le n \le \frac53$$

Целое значение здесь только одно: $n = 1$. Тогда

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$$

Шаг 4. Собираем ответ. Выписываем найденные корни в порядке возрастания:

Ответ: $\boxed{\dfrac{\pi}{3};\ \ \dfrac{5\pi}{3};\ \ \dfrac{7\pi}{3}}$

Полезная привычка: после отбора быстро прикинь, действительно ли все корни попали в отрезок. Здесь $3\pi \approx 9{,}42$, а $\frac{7\pi}{3} \approx 7{,}33$ — всё в порядке.

24. Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Есть и вторая, более приземлённая сторона тригонометрии — работа с треугольниками. Здесь синус и косинус определяются через отношения сторон.

Для острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике:

$$\sin\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$

$$\cos\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$$

$$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}$$

Как не путаться? Противолежащий катет — тот, который «смотрит» на угол, лежит напротив него. Прилежащий — тот, который образует этот угол вместе с гипотенузой.

Пример. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $13$, а катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $5$. Найти $\sin\alpha$.

Нам дали именно противолежащий катет и гипотенузу — как раз то, что нужно для синуса:

$$\sin\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{5}{13}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{5}{13}}$

25. Площадь треугольника через синус

Обычная формула площади требует высоту, а её не всегда знают. Если же известны две стороны и угол между ними, площадь считается так:

$$S = \frac12 ab\sin C$$

Здесь $a$ и $b$ — стороны, а $C$ — угол именно между ними. Это важно: если взять угол не между данными сторонами, формула не сработает.

Пример. В треугольнике стороны $a = 6$ и $b = 8$, угол между ними равен $30^\circ$. Найти площадь.

Подставляем в формулу:

$$S = \frac12 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ$$

Сначала перемножим числа: $\frac12 \cdot 6 \cdot 8 = 24$. По таблице $\sin 30^\circ = \frac12$. Тогда

$$S = 24 \cdot \frac12 = 12$$

Ответ: $\boxed{12}$

26. Теорема синусов и теорема косинусов

Эти две теоремы работают в любом треугольнике, не только в прямоугольном.

Теорема синусов

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

где $R$ — радиус описанной окружности. Смысл простой: чем больше сторона, тем больше противолежащий ей угол, и отношение стороны к синусу её угла одинаково для всех трёх пар.

Используют её, когда известны сторона с противолежащим углом и что-то ещё из этой пары.

Теорема косинусов

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

Это обобщённая теорема Пифагора. Если угол $A$ прямой, то $\cos 90^\circ = 0$, последнее слагаемое исчезает, и остаётся привычное $a^2 = b^2 + c^2$.

Применяют её, когда даны две стороны и угол между ними и нужно найти третью сторону.

Пример. В треугольнике $b = 5$, $c = 7$, угол между этими сторонами равен $60^\circ$. Найти сторону $a$.

Ситуация ровно под теорему косинусов: знаем две стороны и угол между ними.

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

Подставляем значения:

$$a^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ$$

Считаем по частям: $5^2 = 25$, $7^2 = 49$, $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$, а $\cos 60^\circ = \frac12$:

$$a^2 = 25 + 49 - 70 \cdot \frac12 = 74 - 35 = 39$$

Извлекаем корень. Сторона положительна, поэтому берём только плюс:

$$a = \sqrt{39}$$

Ответ: $\boxed{\sqrt{39}}$

27. Частые ошибки в тригонометрии

Ошибка 1. Путать периоды

У синуса и косинуса период $2\pi$, у тангенса и котангенса $\pi$:

$$T_{\sin} = 2\pi, \qquad T_{\operatorname{tg}} = \pi$$

Если написать $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ в уравнении с тангенсом, половина корней потеряется.

Ошибка 2. Забыть вторую серию корней

Уравнение $\sin x = \frac12$ имеет две серии решений, потому что нужная высота достигается в двух точках окружности:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \qquad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Ответ только с первой серией считается неполным.

Ошибка 3. Не проверять область значений

Уравнение $\sin x = 2$ решений не имеет вообще, потому что

$$-1 \le \sin x \le 1$$

Это не повод паниковать: «решений нет» — совершенно нормальный ответ.

Ошибка 4. Делить на выражение, которое может быть нулём

В уравнении $\sin x\cos x = \cos x$ нельзя сократить обе части на $\cos x$: косинус может обратиться в ноль, и мы просто выбросим часть решений.

Правильно перенести и вынести общий множитель:

$$\sin x\cos x - \cos x = 0, \qquad \cos x(\sin x - 1) = 0$$

28. Краткая памятка

Самое важное по тригонометрии: $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$$ $$\sin(x + 2\pi) = \sin x, \qquad \cos(x + 2\pi) = \cos x$$ $$\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg} x, \qquad \operatorname{ctg}(x + \pi) = \operatorname{ctg} x$$ $$\sin 2x = 2\sin x\cos x$$ $$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$$ $$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$

29. Тренировочные задания с ответами

Решай сам, а в ответ подглядывай только после того, как получил свой результат.

Блок 1. Значения функций

Вычислите:

1. $\sin\dfrac{5\pi}{6}$ — ответ: $\dfrac12$
2. $\cos\dfrac{4\pi}{3}$ — ответ: $-\dfrac12$
3. $\operatorname{tg}\dfrac{5\pi}{4}$ — ответ: $1$
4. $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ — ответ: $-\dfrac12$
5. $\cos\dfrac{7\pi}{6}$ — ответ: $-\dfrac{\sqrt3}{2}$

Блок 2. Преобразования

Упростите:

1. $\sin(\pi - x) + \sin x$ — ответ: $2\sin x$
2. $\cos(\pi + x) + \cos x$ — ответ: $0$
3. $\sin 2x - 2\sin x\cos x$ — ответ: $0$
4. $1 - \cos^2 x$ — ответ: $\sin^2 x$
5. $\dfrac{\sin x}{\cos x}$ — ответ: $\operatorname{tg} x$

Блок 3. Уравнения

Решите уравнения:

1. $\cos x = \dfrac12$ — ответ: $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
2. $\sin x = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ — ответ: $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
3. $\operatorname{tg} x = -1$ — ответ: $x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
4. $2\cos x - 1 = 0$ — ответ: $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
5. $2\sin^2 x - \sin x = 0$ — ответ: $x = \pi n$ или $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

30. Итог

Школьная тригонометрия состоит из нескольких больших блоков: единичная окружность, табличные значения, формулы, уравнения, неравенства и задачи с треугольниками. По отдельности каждый блок вполне посильный, а вместе они и складываются в тему, которая кажется огромной.

Секрет в том, что учить наизусть нужно гораздо меньше, чем кажется. Большая часть формул выводится из двух вещей: из картинки единичной окружности и из основного тождества. Если ты понимаешь, откуда берётся формула, ты восстановишь её на экзамене даже в состоянии полного волнения.

Минимальный набор, который стоит держать в голове уверенно:

• перевод градусов в радианы ($180^\circ = \pi$);
• единичная окружность и координаты точки $(\cos x; \sin x)$;
• табличные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса;
• знаки функций по четвертям;
• периоды: $2\pi$ у синуса и косинуса, $\pi$ у тангенса и котангенса;
• формулы приведения (через два правила, а не наизусть все);
• основное тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$;
• формулы сложения и двойного угла;
• решения простейших уравнений;
• отбор корней на промежутке;
• тригонометрия в треугольнике: теоремы синусов и косинусов, площадь через синус.

Тригонометрия = окружность + таблица значений + формулы + периодичность + аккуратный отбор корней.

И последний совет по практике. Не пытайся выучить все тридцать разделов за один вечер. Возьми первые пять, прорешай задания из блока 1 до автоматизма, и только потом двигайся к формулам. Тригонометрия — это тема, где скорость приходит от повторения простых действий, а не от количества прочитанных формул.