Уравнения с параметром: метод выражения корня

Статья построена так, чтобы её можно было читать с нуля. Если вы уверенно решаете иррациональные уравнения и уравнения с модулем — начинайте сразу со второй части. Если нет, первая часть закроет пробелы: без неё параметр не поддастся, потому что параметр не добавляет новых приёмов, он только заставляет применять старые аккуратнее.

ЧАСТЬ I. База: решаем уравнения без параметра

Четыре схемы, которые нужно довести до автоматизма. Ни одной буквы $a$ в этой части не будет.

1. С чего начинается тема

Любая задача с параметром внутри состоит из обычного уравнения. Убери букву $a$ — и останется то, что вы решали в девятом классе. Поэтому провал в задачах с параметром почти никогда не связан с самим параметром. Он связан с тем, что человек нетвёрдо помнит схему: где писать ОДЗ, когда можно возводить в квадрат, что делать с модулем.

2. Схема 1. Корень равен выражению: $\sqrt{F}=G$

Начнём с главного свойства арифметического квадратного корня: он никогда не бывает отрицательным.

$$\sqrt{F}\ \ge\ 0 .$$

$\sqrt{9}=3$, $\sqrt{0}=0$, а вот $\sqrt{9}=-3$ — неверно, минус три это уже другой разговор. Значит, если корень чему-то равен, это «что-то» тоже обязано быть неотрицательным.

Отсюда сразу видно, почему нельзя просто возвести обе части в квадрат и забыть про корень. Возьмём совсем прозрачный пример:

$$\sqrt{x}=x-2 .$$

Возводим в квадрат, ничего не проверяя:

$$x=(x-2)^2, \qquad x=x^2-4x+4, \qquad x^2-5x+4=0 .$$

Раскладываем: $(x-1)(x-4)=0$, откуда $x=1$ или $x=4$. Два корня, красота. А теперь подставим их в исходное уравнение.

При $x=1$: слева $\sqrt{1}=1$, справа $1-2=-1$. Получается $1=-1$ — чепуха. При $x=4$: слева $\sqrt{4}=2$, справа $4-2=2$. Получается $2=2$ — верно.

Итог: $x=1$ — лишний корень. Откуда он взялся? При $x=1$ правая часть была равна $-1$, то есть отрицательной, и равенство было невозможным. Но возведение в квадрат стирает знак: $(-1)^2$ и $1^2$ дают одно и то же. Квадрат «слепой» к минусам, и он честно приравнял то, что приравнивать было нельзя.

Схема 1

$$\sqrt{F}=G \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} F=G^2,\\ G\ge 0. \end{cases}$$

Здесь $F$ — то, что под корнем, $G$ — то, что стоит по другую сторону равенства.

Логичный вопрос: а условие $F\ge 0$ писать надо? Не надо. Посмотрите на первую строку системы: $F=G^2$, а квадрат неотрицателен всегда. Значит, $F\ge 0$ выполнится само, бесплатно. А вот $G\ge 0$ само не выполнится никогда — эту строчку пропускать нельзя.

Пример 2.1. Решите уравнение $\sqrt{2x+3}=x$.

Шаг 1. Корень стоит отдельно, схема применима напрямую. Записываем условие на правую часть:

$$x\ge 0 .$$

Шаг 2. Возводим в квадрат:

$$2x+3=x^2, \qquad x^2-2x-3=0 .$$

Шаг 3. Решаем. По теореме Виета корни $x=3$ и $x=-1$.

Шаг 4. Отбираем по условию $x\ge 0$. Тройка проходит, минус единица — нет. Проверим победителя: $\sqrt{2\cdot 3+3}=\sqrt{9}=3$, справа тоже $3$. Сходится.

Ответ: $x=3$

3. Схема 2. Корень равен корню: $\sqrt{F}=\sqrt{G}$

Здесь ситуация приятнее: обе части неотрицательны сами по себе, следить за знаком правой части не нужно. Зато нужно следить за подкоренными выражениями — они обязаны существовать.

Схема 2

$$\sqrt{F}=\sqrt{G} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} F=G,\\ G\ge 0. \end{cases}$$

Достаточно потребовать неотрицательности одного из подкоренных выражений: из равенства $F=G$ второе получится автоматически.

Пример 3.1. Решите уравнение $\sqrt{x^2-3x}=\sqrt{2x-6}$.

Приравниваем подкоренные выражения:

$$x^2-3x=2x-6, \qquad x^2-5x+6=0 .$$

Корни: $x=2$ и $x=3$.

Теперь проверяем условие. Возьмём более простое подкоренное выражение: $2x-6\ge 0$, то есть $x\ge 3$. Значит, $x=2$ отпадает — при нём под корнем оказалось бы $-2$. Проверяем $x=3$: слева $\sqrt{9-9}=0$, справа $\sqrt{6-6}=0$. Верно.

Ответ: $x=3$

4. Схема 3. Уравнения с модулем

Модуль — это расстояние до нуля, поэтому он тоже никогда не бывает отрицательным. Логика та же, что с корнем, и схем здесь три — в зависимости от того, что стоит справа.

Схема 3А. Модуль равен числу

$$|F|=b \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} F=b \ \text{ или }\ F=-b, \\ b\ge 0. \end{cases}$$

Если $b<0$, решений нет вообще. Если $b=0$, остаётся одно уравнение $F=0$.

Схема 3Б. Модуль равен модулю

$$|F|=|G| \quad\Longleftrightarrow\quad F=G \ \text{ или }\ F=-G .$$

Никаких дополнительных условий: обе части неотрицательны, и ограничений это не даёт.

Схема 3В. Модуль равен выражению

$$|F|=G \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} F=G \ \text{ или }\ F=-G, \\ G\ge 0. \end{cases}$$

Вот эта схема — прямой родственник корня. Условие $G\ge 0$ обязательно.

Пример 4.1. Решите уравнение $|2x-5|=3$.

Справа положительное число, работает схема 3А. Раскрываем два случая:

$$2x-5=3 \ \Longrightarrow\ x=4, \qquad 2x-5=-3 \ \Longrightarrow\ x=1 .$$

Ответ: $x=1$ или $x=4$

Пример 4.2. Решите уравнение $|x-1|=|3x+5|$.

Схема 3Б, условий нет. Первый случай:

$$x-1=3x+5 \ \Longrightarrow\ -2x=6 \ \Longrightarrow\ x=-3 .$$

Второй случай:

$$x-1=-(3x+5) \ \Longrightarrow\ x-1=-3x-5 \ \Longrightarrow\ 4x=-4 \ \Longrightarrow\ x=-1 .$$

Ответ: $x=-3$ или $x=-1$

Пример 4.3. Решите уравнение $|x-2|=2x-1$.

Справа выражение с переменной — значит, схема 3В и обязательное условие:

$$2x-1\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge \tfrac12 .$$

Первый случай: $x-2=2x-1$, откуда $x=-1$. Условию не удовлетворяет, отбрасываем.

Второй случай: $x-2=-(2x-1)$, то есть $x-2=1-2x$, откуда $3x=3$ и $x=1$. Условие выполнено. Проверяем: $|1-2|=1$, справа $2-1=1$. Верно.

Ответ: $x=1$

5. Схема 4. Дробно-рациональные уравнения

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Второе условие забывают чаще, чем хотелось бы.

Схема 4

$$\frac{F}{G}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} F=0,\\ G\ne 0. \end{cases}$$

Пример 5.1. Решите уравнение $\dfrac{x^2-x-6}{x+2}=0$.

Числитель в нуль: $x^2-x-6=0$, корни $x=3$ и $x=-2$.

Знаменатель не в нуль: $x+2\ne 0$, то есть $x\ne -2$. Второй корень как раз обнуляет знаменатель, поэтому он посторонний.

Ответ: $x=3$

6. Сводка первой части

Четыре схемы в одной таблице

Общий принцип всех схем: если одна часть уравнения заведомо неотрицательна, то и вторая обязана быть неотрицательной. Эта строчка условия — не формальность, она отсеивает посторонние корни. Дальше в задачах с параметром именно она превратится в «разрешённую область».

ЧАСТЬ II. Что такое параметр

Разбираемся с логикой: почему одна лишняя буква меняет постановку задачи, но не меняет приёмы решения.

7. Параметр — это число, которое нам не назвали

Представьте задание: «При каких значениях $a$ уравнение $\sqrt{x+a}=x-1$ имеет два решения?» Первая реакция обычно такая: а как это вообще решать, если тут две буквы?

Давайте сразу договоримся о ролях. Буква $x$ — это переменная, её мы ищем. Буква $a$ — это параметр, то есть число, которое нам просто не сообщили. Оно фиксировано, но неизвестно.

Ключевое слово — «фиксировано». Параметр не бегает внутри одной задачи. Он выбирается один раз, и после этого у нас на руках обычное уравнение, которое мы умеем решать по схемам из первой части. Каждому конкретному $a$ соответствует своё уравнение: при $a=0$ одно, при $a=5$ другое, при $a=-3$ третье. И у каждого из этих уравнений своё количество корней.

Уравнение с параметром — это не одно уравнение, а целое семейство уравнений. Столько уравнений, сколько чисел на числовой прямой.

8. Эксперимент: подставим три числа и посмотрим

Теорию проще увидеть, чем прочитать. Возьмём то самое уравнение

$$\sqrt{x+a}=x-1$$

и трижды подставим вместо $a$ конкретное число. Решать будем по схеме 1: условие $x-1\ge 0$, то есть $x\ge 1$, сохраняется во всех трёх случаях.

Берём $a=-2$

Уравнение принимает вид $\sqrt{x-2}=x-1$. Возводим в квадрат:

$$x-2=x^2-2x+1, \qquad x^2-3x+3=0 .$$

Дискриминант $D=9-12=-3<0$. Корней нет вообще.

Ответ: при $a=-2$ решений нет

Берём $a=-1$

Уравнение $\sqrt{x-1}=x-1$. Возводим в квадрат:

$$x-1=x^2-2x+1, \qquad x^2-3x+2=0 .$$

Корни $x=1$ и $x=2$. Оба удовлетворяют условию $x\ge 1$ — единица входит, неравенство нестрогое. Проверим: при $x=1$ слева $\sqrt{0}=0$, справа $0$; при $x=2$ слева $\sqrt{1}=1$, справа $1$. Оба годятся.

Ответ: при $a=-1$ ровно два решения

Берём $a=0$

Уравнение $\sqrt{x}=x-1$. В квадрат:

$$x=x^2-2x+1, \qquad x^2-3x+1=0 , \qquad x=\frac{3\pm\sqrt5}{2} .$$

Численно это примерно $2{,}62$ и $0{,}38$. Условию $x\ge 1$ удовлетворяет только первый корень, второй отбрасываем.

Ответ: при $a=0$ ровно одно решение

Что мы увидели

Одно и то же уравнение при разных $a$ ведёт себя совершенно по-разному: то ноль решений, то два, то одно. Никакой мистики здесь нет — мы трижды решили обычное иррациональное уравнение по знакомой схеме, просто с разными числами.

Но подставлять числа по одному можно бесконечно, а их бесконечно много. Поэтому от нас и требуют не «найди $x$», а «расскажи, что происходит с числом решений, когда $a$ пробегает всю числовую прямую». Метод выражения корня как раз про это: он позволяет обработать все значения параметра одним движением, а не перебором.

9. Что значит «решить уравнение с параметром»

Формулировки в задачах бывают трёх видов, и полезно понимать, что все три требуют одной и той же работы.

«Сколько решений в зависимости от $a$» — нужно разбить числовую прямую на промежутки и для каждого указать количество корней. Ответ оформляется таблицей.

«При каких $a$ ровно два решения» — та же таблица, но в ответ выносится одна строка. Таблицу всё равно придётся построить, хотя бы в черновике.

«Решите уравнение с параметром» — нужно выразить сами корни через $a$ и указать, при каких $a$ они существуют.

Во всех трёх случаях алгоритм один. Меняется только последняя строчка — то, что вы выписываете в ответ. Поэтому учить нужно один метод, а не три.

ЧАСТЬ III. Алгоритм метода выражения корня

Главный приём темы: развернуть задачу и выразить не переменную, а сам параметр.

10. Ключевая идея: выражаем не $x$, а параметр

Начнём с того, как не надо. После возведения в квадрат у нас получается уравнение с двумя буквами, например $x+a=(x-1)^2$. Обычный ход — выразить $x$ через $a$, но тогда полезут корни из дискриминанта, условия на подкоренное выражение, разбор случаев, и решение расползётся на страницу.

Мы сделаем наоборот. Выразим параметр через переменную:

$$a=x^2-3x+1 .$$

Что это значит по смыслу? Читаем справа налево: «взяли какое-то $x$ — получили то единственное $a$, при котором это $x$ является корнем». То есть формула $a=f(x)$ для каждого $x$ сообщает, при каком параметре этот $x$ сработает.

А теперь развернём вопрос обратно, как в задаче. Нам дали $a$. Сколько решений? Столько, сколько разных допустимых $x$ выдают именно это значение $a$. На графике это выглядит очень наглядно: рисуем кривую $y=f(x)$ на разрешённом куске и проводим горизонтальную прямую на высоте $a$. Сколько точек пересечения — столько и решений.

Количество решений исходного уравнения равно количеству точек, где горизонтальная прямая уровня $a$ пересекает график $y=f(x)$ на разрешённой области.

Обратите внимание на выделенные слова. Разрешённая область — это то самое условие $G\ge 0$ из схемы 1. Если про неё забыть, ответ почти всегда получится неверным, потому что часть графика учитывать нельзя.

11. Общий алгоритм

1. Оставить корень в одиночестве. Привести уравнение к виду $\sqrt{F}=G$.
2. Записать условие $G\ge 0$ и сразу решить его: получится промежуток для $x$. Это наша разрешённая область, дальше живём только внутри неё.
3. Возвести в квадрат: $F=G^2$, раскрыть скобки.
4. Выразить параметр: $a=f(x)$.
5. Исследовать $f$ на разрешённой области: куда идут ветви, где вершина, попала ли вершина в область, чему равно значение на границе.
6. Посчитать пересечения горизонтальной прямой с графиком.
7. Записать ответ по параметру — обычно таблицей.

12. Мини-повторение: парабола на кусочке

Почти всегда после возведения в квадрат вылезает квадратичная функция $a=px^2+qx+r$. Нужно вспомнить про неё три вещи.

Куда смотрят ветви. Если $p>0$ — вверх, у функции есть наименьшее значение. Если $p<0$ — вниз, есть наибольшее.

Где вершина. $x_0=-\dfrac{q}{2p}$, а значение в ней — $f(x_0)$.

И главное — попала ли вершина в наш промежуток. Вот это теряют чаще всего. Мы работаем не со всей параболой, а с её куском: $x\ge 1$, $x\le 3$ и так далее. Возможны два сценария:

Если вершина внутри куска, функция сначала убывает до вершины, потом возрастает. Значит, некоторые значения она принимает дважды — и это будущие «два решения».

Если вершина вне куска, то на всём куске функция только убывает или только возрастает. Каждое своё значение она принимает ровно один раз, и двух решений не будет никогда. Ответ выйдет коротким.

Всё исследование делаем только на области из условия $G\ge 0$. И обязательно считаем значение на границе этой области: именно оно почти всегда даёт вторую цифру в ответе.

ЧАСТЬ IV. Шесть подробных разборов

Первый разбор — медленно и с объяснением каждого шага. Дальше меняются только числа.

13. Разбор 1. Опорный пример

Задача. Сколько решений имеет уравнение $\sqrt{x+a}=x-1$ в зависимости от $a$?

Это то самое уравнение, с которым мы экспериментировали в восьмом разделе. Тогда мы подставили три числа. Сейчас обработаем сразу все.

Шаг 1. Корень уже стоит отдельно, ничего переносить не надо. Отмечаем: $F=x+a$, $G=x-1$.

Шаг 2. Правая часть обязана быть неотрицательной:

$$x-1\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge 1 .$$

Вот она, разрешённая область. Всё, что левее единицы, для нас больше не существует.

Шаг 3. Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

$$x+a=(x-1)^2, \qquad x+a=x^2-2x+1 .$$

Шаг 4. Выражаем параметр. Переносим $x$ вправо:

$$a=x^2-3x+1 .$$

Шаг 5. Исследуем эту параболу на луче $x\ge 1$. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положительный — ветви вверх. Вершина:

$$x_0=-\frac{-3}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}=1{,}5 .$$

Полтора больше единицы, значит вершина внутри области. Это сигнал: двойные решения будут. Считаем значение в вершине:

$$a_{\min}=\left(\tfrac32\right)^2-3\cdot\tfrac32+1=\frac94-\frac{18}{4}+\frac44=-\frac54 .$$

И обязательно значение на границе $x=1$:

$$a(1)=1-3+1=-1 .$$

Теперь мысленно нарисуйте картинку. Мы стартуем в точке $(1;-1)$, спускаемся до самой низкой точки $\left(1{,}5;\,-\tfrac54\right)$, а дальше уходим вверх без остановки. Заметьте: $-\tfrac54=-1{,}25$ ниже, чем $-1$.

Шаг 6. Проводим горизонтальную прямую на высоте $a$ и смотрим, сколько раз она задевает эту линию. Разбираем по случаям, двигая прямую снизу вверх.

Прямая ниже самой низкой точки, то есть $a<-\tfrac54$: не задевает ничего. Решений нет. Сверьтесь с экспериментом: при $a=-2$ мы получили пустой ответ.

Прямая точно на уровне вершины, $a=-\tfrac54$: касается ровно в одной точке. Одно решение (это $x=1{,}5$).

Прямая выше вершины, но не выше стартовой точки: $-\tfrac54<a\le -1$. Здесь она пересекает и убывающий участок (слева от вершины), и возрастающий (справа). Два решения.

Отдельно проверим саму границу $a=-1$, потому что именно здесь легко ошибиться со знаком. Подставляем: $x^2-3x+1=-1$, то есть $x^2-3x+2=0$, откуда $x=1$ и $x=2$. Оба корня удовлетворяют условию $x\ge 1$ (единица входит, неравенство нестрогое). Значит, при $a=-1$ решений действительно два — ровно это мы и посчитали руками в разделе 8. В ответе стоит $\le$, а не $<$.

Прямая выше стартовой точки, $a>-1$: левая точка пересечения «уезжает» за границу, в область $x<1$, и её мы не считаем. Остаётся только правая. Одно решение. При $a=0$ мы это уже видели.

Шаг 7. Оформляем.

Этот пример — шаблон. Дальше меняются только числа, а рассуждение остаётся ровно таким же.

14. Разбор 2. Когда вершина осталась «за забором»

Задача. Сколько решений имеет уравнение $\sqrt{2x+a}=3-x$?

Условие неотрицательности правой части: $3-x\ge 0$, то есть $x\le 3$. Обратите внимание, теперь область — луч влево.

Возводим в квадрат и выражаем параметр:

$$2x+a=(3-x)^2, \qquad 2x+a=x^2-6x+9, \qquad a=x^2-8x+9 .$$

Ветви вверх, вершина в точке $x_0=\dfrac{8}{2}=4$. А у нас $x\le 3$. Четвёрка в этот промежуток не попадает — вершина осталась справа от «забора».

Что это значит для нас? До вершины парабола убывает. Весь наш промежуток лежит левее вершины, поэтому на нём функция только убывает. Наименьшее значение достигается в самой правой доступной точке, то есть на границе $x=3$:

$$a(3)=9-24+9=-6 .$$

Влево функция неограниченно растёт. Итого на луче $x\le 3$ она принимает все значения $a\ge -6$, причём каждое — ровно один раз (строгое убывание не позволяет повториться).

Вывод, который стоит запомнить: вершина вне области — двух решений не бывает, и ответ получается из двух строк. Так что проверка «попала вершина или нет» экономит время.

15. Разбор 3. Коэффициенты пугают, но ничего не меняют

Задача. Сколько решений имеет уравнение $\sqrt{x+a}=2x-3$?

Условие: $2x-3\ge 0$, значит $x\ge \dfrac32$.

В квадрат: $x+a=(2x-3)^2=4x^2-12x+9$. Выражаем параметр:

$$a=4x^2-13x+9 .$$

Ветви вверх (коэффициент $4>0$), вершина:

$$x_0=\frac{13}{8} .$$

Сравнить $\dfrac{13}{8}$ и $\dfrac32$ на глаз трудно, поэтому приводим к общему знаменателю: $\dfrac32=\dfrac{12}{8}$, а $\dfrac{13}{8}>\dfrac{12}{8}$. Вершина внутри области — ждём случай с двумя решениями.

$$a_{\min}=4\cdot\frac{169}{64}-\frac{169}{8}+9=\frac{169}{16}-\frac{338}{16}+\frac{144}{16}=-\frac{25}{16} .$$

$$a\!\left(\tfrac32\right)=4\cdot\frac94-13\cdot\frac32+9=9-\frac{39}{2}+9=-\frac32 .$$

Проверяем взаимное расположение: $-\dfrac{25}{16}=-1{,}5625$, а $-\dfrac32=-1{,}5$. Вершина ниже границы — картинка та же, что в первом разборе: спуск, потом подъём. Дальше рассуждение копируется дословно.

16. Разбор 4. Сначала освободить корень

Задача. Сколько решений имеет уравнение $\sqrt{x+a}+x=4$?

Здесь корень не один в своей части, поэтому первый шаг алгоритма наконец-то делает работу. Переносим $x$:

$$\sqrt{x+a}=4-x .$$

Важно: условие пишем именно для новой правой части, той, что получилась после переноса. $4-x\ge 0$, то есть $x\le 4$.

В квадрат: $x+a=16-8x+x^2$, откуда $a=x^2-9x+16$.

Вершина $x_0=\dfrac92=4{,}5$, а область $x\le 4$. Не попала. Значит, на области функция убывает, минимум на границе:

$$a(4)=16-36+16=-4 .$$

Кстати, уравнение $\sqrt{a+x}=4-x$ — это то же самое, просто слагаемые под корнем переставлены. Не пугайтесь, если встретите его в другом виде: смотреть надо на структуру, а не на порядок букв.

17. Разбор 5. Параметр не под корнем — спасает замена

Задача. Сколько решений имеет уравнение $\sqrt{x+2}=x-a$?

Попробуем в лоб. Условие $x-a\ge 0$, возводим в квадрат: $x+2=x^2-2ax+a^2$, то есть $x^2-(2a+1)x+a^2-2=0$. Уравнение с параметром и в коэффициентах, и в условии $x\ge a$ — решать можно, но муторно.

Сделаем изящнее. Обозначим сам корень новой буквой:

$$t=\sqrt{x+2}, \qquad t\ge 0 .$$

Из уравнения сразу получаем $t=x-a$, значит $x=t+a$. А из определения замены $t^2=x+2$. Подставляем одно в другое:

$$t^2=(t+a)+2 \quad\Longrightarrow\quad a=t^2-t-2, \qquad t\ge 0 .$$

Смотрите, что случилось: параметр выразился через $t$, а ограничение стало предельно простым — $t\ge 0$, без всяких букв. Дальше знакомая процедура.

Ветви вверх, вершина $t_0=\dfrac12$ — внутри области. Значения:

$$a_{\min}=\frac14-\frac12-2=-\frac94, \qquad a(0)=-2 .$$

Ещё одна деталь: замена $x=t+a$ — соответствие «один к одному», разным $t$ отвечают разные $x$. Поэтому число решений по $t$ равно числу решений по $x$, пересчитывать ничего не нужно.

18. Разбор 6. Корень равен корню

Задача. Решите уравнение $\sqrt{x+a}=\sqrt{2x+1}$.

Здесь работает схема 2 из первой части. Обе части — корни, обе неотрицательны сами по себе, так что условие на знак правой части выполняется автоматически и возводить в квадрат можно смело:

$$x+a=2x+1 \quad\Longrightarrow\quad x=a-1 .$$

Но расслабляться рано. Условие про знак ушло, зато вернулось условие про подкоренные выражения: они должны быть неотрицательными. Проверяем найденный корень.

Под первым корнем: $x+a=(a-1)+a=2a-1$. Под вторым: $2x+1=2(a-1)+1=2a-1$. Одно и то же выражение, что логично — части ведь равны. Требуем $2a-1\ge 0$, то есть $a\ge\dfrac12$.

ЧАСТЬ V. Оформление, ошибки, тренажёр

Как не потерять баллы на правильном по сути решении и где отработать метод.

19. Как оформить ответ, чтобы его приняли

Если спрашивают «сколько решений в зависимости от $a$» — оформляйте таблицей. Она читается мгновенно и показывает, что вы перебрали все случаи, ничего не пропустив. Проверьте, что промежутки в левом столбце покрывают всю числовую прямую и нигде не перекрываются: это самопроверка на потерянный случай.

Если спрашивают конкретно, например «при каких $a$ ровно два решения», то таблицу можно построить как черновик, а в ответ вынести только нужную строку:

$$-\dfrac54<a\le -1$$

И следите за строгостью знаков. Разница между $<$ и $\le$ — это ровно один балл, а проверить границу занимает полминуты: подставили значение и посмотрели, попадают ли корни в область.

20. Пять ошибок, на которых теряют баллы

Ошибка 1. Возвести в квадрат и не написать условие

Переход $\sqrt{F}=G\Rightarrow F=G^2$ без строчки $G\ge 0$ — это не решение, а лотерея. Лишние корни появятся, и вы их не заметите.

Ошибка 2. Записать условие и тут же о нём забыть

Условие $x\ge 1$ или $x\le 3$ работает до последней строки решения. Исследуем не всю параболу, а её разрешённый кусок.

Ошибка 3. Найти вершину и не проверить, попала ли она в область

Если вершина в точке $x_0=4$, а по условию $x\le 3$, то значение в вершине к делу вообще не относится. Минимум ищем на границе. Это самая дорогая ошибка в теме.

Ошибка 4. Не посчитать значение на границе

Граничная точка входит в область (неравенство-то нестрогое) и почти всегда даёт вторую «переломную» точку в ответе. Без неё таблица получится из двух строк вместо четырёх.

Ошибка 5. Условие для старой правой части

Если пришлось переносить слагаемые, условие пишется для того выражения, которое стоит напротив корня после переноса. Для $\sqrt{x+a}+x=4$ это $4-x\ge 0$, а не $x\ge 0$ или что-то ещё.

21. Памятка

1. Оставь корень один: $\sqrt{F}=G$.
2. Запиши $G\ge 0$ и реши — это разрешённая область.
3. Возведи в квадрат: $F=G^2$.
4. Вырази параметр: $a=f(x)$.
5. Найди вершину и проверь, попала ли она в область.
6. Посчитай значение в вершине и на границе, сравни их.
7. Мысленно проведи горизонтальную прямую и посчитай пересечения.
8. Оформи таблицу, проверь строгость знаков.

22. Тренажёр

Сначала решайте сами, полностью, с областью и вершиной. Ответ смотрите только после того, как получили свой.

Блок 1. Определите число решений в зависимости от $a$

1) $\sqrt{x+a}=x$

Область $x\ge 0$, $a=x^2-x$, вершина $x_0=\tfrac12$ внутри области, $a_{\min}=-\tfrac14$, $a(0)=0$.

2) $\sqrt{x+a}=x+2$

Область $x\ge -2$, $a=x^2+3x+4$, вершина $x_0=-\tfrac32$ внутри, $a_{\min}=\tfrac74$, $a(-2)=2$.

3) $\sqrt{x+a}=x-2$

Область $x\ge 2$, $a=x^2-5x+4$, вершина $x_0=\tfrac52$ внутри, $a_{\min}=-\tfrac94$, $a(2)=-2$.

4) $\sqrt{x+a}=3-x$

Область $x\le 3$, $a=x^2-7x+9$, вершина $x_0=\tfrac72$ вне области, функция убывает, $a(3)=-3$.

5) $\sqrt{x+a}=5-x$

Область $x\le 5$, $a=x^2-11x+25$, вершина $x_0=\tfrac{11}{2}$ вне области, $a(5)=-5$.

Блок 2. Сначала нужно выразить корень

6) $\sqrt{x+a}+x=3$

$\sqrt{x+a}=3-x$, область $x\le 3$, $a=x^2-7x+9$, $a(3)=-3$.

7) $\sqrt{x+a}-x=1$

$\sqrt{x+a}=x+1$, область $x\ge -1$, $a=x^2+x+1$, вершина $x_0=-\tfrac12$ внутри, $a_{\min}=\tfrac34$, $a(-1)=1$.

8) $x+\sqrt{2x+a}=4$

$\sqrt{2x+a}=4-x$, область $x\le 4$, $a=x^2-10x+16$, вершина $x_0=5$ вне области, $a(4)=-8$.

9) $\sqrt{3x+a}=x+1$

Область $x\ge -1$, $a=x^2-x+1$, вершина $x_0=\tfrac12$ внутри, $a_{\min}=\tfrac34$, $a(-1)=3$.

10) $\sqrt{a-x}=x+1$

Область $x\ge -1$, $a=x^2+3x+1$, вершина $x_0=-\tfrac32$ вне области, на $x\ge -1$ функция возрастает, $a(-1)=-1$.

Блок 3. Найдите параметр по заданному числу решений

11) $\sqrt{x+a}=x-1$ — ровно два решения.

Ответ: $-\dfrac54<a\le -1$

12) $\sqrt{x+a}=2x-3$ — ровно два решения.

Ответ: $-\dfrac{25}{16}<a\le -\dfrac32$

13) $\sqrt{x+a}=x+2$ — ровно одно решение.

Ответ: $a=\dfrac74$ или $a>2$

14) $\sqrt{2x+a}=3-x$ — есть хотя бы одно решение.

Ответ: $a\ge -6$

15) $\sqrt{a-x}=x-2$ — есть хотя бы одно решение.

Область $x\ge 2$, $a=x^2-3x+4$, вершина $x_0=\tfrac32$ вне области, функция возрастает, $a(2)=2$.

Ответ: $a\ge 2$

23. Итог

Соберём всю статью в несколько строк. Первая часть: любое уравнение с корнем или модулем решается по равносильной схеме, где обязательно появляется условие неотрицательности. Вторая часть: параметр — это просто не названное число, и уравнение с параметром задаёт целое семейство обычных уравнений.

Третья часть соединяет одно с другим. Вместо того чтобы для каждого $a$ заново решать уравнение, мы один раз выражаем $a=f(x)$ и смотрим на график: сколько раз горизонтальная прямая задевает разрешённый кусок, столько и решений.

Дальше вся работа сводится к трём числам: где вершина, чему равно значение в вершине и чему равно значение на границе. Сравнили их между собой — таблица собирается сама.

Выразить корень → записать условие → возвести в квадрат → выразить параметр → исследовать на разрешённой области.

24. Разбор задачи ЕГЭ

Задача. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{x^4-9x^2+a^2}=x^2+3x-a$$

имеет три различных корня.

На первый взгляд задача выглядит страшнее всего, что было раньше: четвёртая степень под корнем, параметр в квадрате, справа целый квадратный трёхчлен. Но структура — та самая схема 1 из первой части: корень равен выражению. Значит, работает знакомый план.

Отличие от разборов четвёртой части только одно. Раньше мы выражали параметр и смотрели на график. Здесь после возведения в квадрат уравнение красиво разложится на множители, и корни найдутся явно. Поэтому вместо графика будет прямая проверка каждого корня условием.

Шаг 1. Записываем условие неотрицательности. Слева арифметический квадратный корень, он не бывает отрицательным. Значит, правая часть обязана быть неотрицательной:

$$x^2+3x-a\ \ge\ 0 . \qquad (*)$$

Пометим это условие звёздочкой — к нему мы вернёмся на седьмом шаге, и именно оно решит задачу. Решать неравенство прямо сейчас не нужно: параметр внутри, разбор случаев вышел бы громоздким. Гораздо удобнее сначала найти корни, а потом подставить их в $(*)$ — тогда вместо неравенства с двумя буквами получатся простые неравенства для $a$.

Шаг 2. Возводим в квадрат.

$$x^4-9x^2+a^2=(x^2+3x-a)^2 .$$

Шаг 3. Раскрываем квадрат. Здесь квадрат трёхчлена, работаем по формуле $(u+v+w)^2=u^2+v^2+w^2+2uv+2uw+2vw$, где $u=x^2$, $v=3x$, $w=-a$:

$$x^4-9x^2+a^2=x^4+9x^2+a^2+6x^3-2ax^2-6ax .$$

Шаг 4. Упрощаем. Слева и справа одинаковые слагаемые $x^4$ и $a^2$ — они сокращаются. Это хороший знак: четвёртая степень уходит, и уравнение станет посильным.

$$-9x^2=9x^2+6x^3-2ax^2-6ax .$$

Переносим всё в правую часть:

$$6x^3+18x^2-2ax^2-6ax=0 .$$

Шаг 5. Разлагаем на множители. Группируем слагаемые по парам: первые два дают общий множитель $6x^2$, вторые два — общий множитель $-2ax$.

$$6x^2(x+3)-2ax(x+3)=0 .$$

Теперь виден общий множитель $(x+3)$:

$$(x+3)\left(6x^2-2ax\right)=0 .$$

Во второй скобке вынесем $2x$:

$$2x\,(x+3)(3x-a)=0 .$$

Шаг 6. Выписываем кандидатов. Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель:

$$x_1=-3, \qquad x_2=0, \qquad x_3=\frac{a}{3} .$$

Слово «кандидаты» здесь не для красоты. Мы возводили в квадрат, а этот переход не равносильный — он может добавить посторонние корни. Пока условие $(*)$ не проверено, ни один из трёх найденных иксов корнем считать нельзя.

Шаг 7. Проверяем каждого кандидата условием $(*)$. Подставляем по очереди и смотрим, какие $a$ это допускают.

Для $x_1=-3$: подставляем в $x^2+3x-a\ge 0$:

$$9-9-a\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -a\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad a\le 0 .$$

Для $x_2=0$:

$$0+0-a\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad a\le 0 .$$

Для $x_3=\dfrac{a}{3}$:

$$\left(\frac{a}{3}\right)^2+3\cdot\frac{a}{3}-a\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{a^2}{9}+a-a\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{a^2}{9}\ge 0 .$$

Слагаемые $a$ и $-a$ взаимно уничтожились, и осталась дробь с квадратом в числителе. Квадрат неотрицателен всегда, поэтому третий кандидат проходит проверку при любом $a$, то есть $a\in\mathbb{R}$.

Итог седьмого шага

Отсюда первый вывод: чтобы корней было три, обязательно нужно $a\le 0$. При положительном $a$ первые два кандидата отсеиваются, и остаётся один корень.

Шаг 8. Проверяем, не склеиваются ли корни. В условии сказано «три различных корня». Три формулы ещё не гарантируют три разных числа: при некоторых $a$ корни могут совпасть. Перебираем все пары.

$x_1$ и $x_2$: числа $-3$ и $0$ различны при любом $a$, эта пара никогда не склеивается.

$x_1$ и $x_3$:

$$-3=\frac{a}{3} \quad\Longrightarrow\quad a=-9 .$$

$x_2$ и $x_3$:

$$0=\frac{a}{3} \quad\Longrightarrow\quad a=0 .$$

Значит, значения $a=-9$ и $a=0$ нужно выколоть: при них разных корней остаётся только два.

Вот главная ловушка задачи. На седьмом шаге получилось $a\le 0$ с нестрогим знаком, и рука сама тянется написать в ответе $a\le 0$. Но при $a=0$ третий корень $x_3=\tfrac{0}{3}=0$ совпадает со вторым, и различных корней всего два: $-3$ и $0$. Поэтому ноль из ответа исключается.

Шаг 9. Собираем всё в таблицу.

Разберём таблицу по участкам:

Шаг 10. Записываем ответ. Три различных корня получаются на двух промежутках:

$$a\in(-\infty;\,-9)\cup(-9;\,0) .$$

Ответ: $a\in(-\infty;\,-9)\cup(-9;\,0)$

Проверим на конкретном числе

Полезная привычка: взять любое $a$ из ответа и убедиться, что корней действительно три. Возьмём $a=-3$. Тогда $x_3=\dfrac{-3}{3}=-1$, и кандидаты такие: $-3$, $0$, $-1$. Уравнение принимает вид $\sqrt{x^4-9x^2+9}=x^2+3x+3$. Подставляем:

$$x=-3:\quad \sqrt{81-81+9}=3, \qquad 9-9+3=3 .$$

$$x=0:\quad \sqrt{9}=3, \qquad 0+0+3=3 .$$

$$x=-1:\quad \sqrt{1-9+9}=1, \qquad 1-3+3=1 .$$

Все три равенства верны, корни разные. Ответ работает.

Чему учит эта задача. Схема прежняя: условие на правую часть → возведение в квадрат → поиск корней. Новое только одно: когда корни находятся явно, условие $(*)$ проверяется подстановкой каждого корня, а не построением графика. И к требованию «различных» добавляется отдельный шаг — приравнять корни друг к другу и выколоть найденные значения параметра.