Функции с параметром

$$\frac{x - 2a}{x + 2} + \frac{x - 1}{x - a} = 1$$

$$\left(*\right) \begin{cases} x + 2 \neq 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases}$$

Перенесем все в одну сторону: $$\frac{x - 2a}{x + 2} + \frac{x - 1}{x - a} - 1 = 0$$

Приведем к общему знаменателю: $$\frac{(x - 2a)(x - a) + (x - 1)(x + 2) - (x + 2)(x - a)}{(x + 2)(x - a)} = 0$$

Упростим числитель: $$(x^2 - ax - 2a x + 2a^2) + (x^2 + 2x - x - 2) - (x^2 - a x + 2x - 2a) = 0$$ $$x^2 - 3a x + 2a^2 + x^2 + x - 2 - x^2 + a x - 2x + 2a = 0$$ $$x^2 - 2a x + 2a^2 - x + 2a - 2 = 0$$ $$x^2 - (2a + 1)x + 2a^2 + 2a - 2 = 0$$

Получили квадратное уравнение: $$x^2 - (2a + 1)x + 2a^2 + 2a - 2 = 0$$

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно 1 корень, необходимо чтобы квадратное уравнение $x^2 - (2a + 1)x + 2a^2 + 2a - 2 = 0$ имело один корень $\Rightarrow D = 0$. $$D = (2a + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 + 2a - 2) = 0$$ $$4a^2 + 4a + 1 - 8a^2 - 8a + 8 = 0$$ $$-4a^2 - 4a + 9 = 0$$ $$4a^2 + 4a - 9 = 0$$ $$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 144}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{160}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{2}$$

$$D > 0 \text{ при } a\in\left(\frac{-1 - \sqrt{10}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{10}}{2}\right)$$

Найдём значения параметра $a$ при которых корни числителя совпадают с корнями знаменателя.

Для этого подставим значения $x = -2, x = a$ в числитель:

$$4 + 4a + 2 + 2a^2 + 2a - 2 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 3a + 2 =0 \Leftrightarrow a = -1 \text{ или } a = -2$$

При $a = -1 \text{ и } a = -2$ квадратное уравнение имеет 2 корня (D > 0). Один из корней $x = -2$, что нам не подходит. В итоге остается 1 корень, значит, данные значения параметра $a$ мы берём в ответ.

Подставим $x = a$:

$$a^2 -2a^2 - a + 2a^2 + 2a -2 = 0 \Leftrightarrow a^2 + a -2 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \text{ или } a = -2$$

При $a = 1 \text{ и } a = -2$ квадратное уравнение имеет 2 корня (D > 0). Один из корней $x = a$, что нам не подходит. В итоге остается 1 корень, значит, данные значения параметра $a$ мы берём в ответ.

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень при: $$a \in \left\{-2, -1, 1\right\} \cup \left\{\frac{-1 \pm \sqrt{10}}{2}\right\}$$

Ответ: $a \in \left\{-2, -1, 1\right\} \cup \left\{\frac{-1 - \sqrt{10}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{10}}{2}\right\}$

Сделаем замену $2^x = t$, $t > 0$:

Одно положительное решение $t$ исходного уравнения даёт одно решение для $x$, поэтому уравнение относительно переменной $t$ будет иметь столько же корней, сколько и уравнение относительно переменной $x$.

$$t^2 + (a - 6)t = (2 + 3|a|)t+ (a - 6)(3|a| + 2)$$ $$t^2 + (a - 6)t - (2 + 3|a|)t - (a - 6)(3|a| + 2) = 0$$ $$t(t + (a - 6)) - (2 + 3|a|)(t + (a - 6)) = 0$$ $$(t + a - 6)(t - 2 - 3|a|) = 0$$ $$t = -a + 6 \text{ или } t = 2 + 3|a|$$

По условию $t > 0$. Проверим корни на это условие:

$$\begin{cases} t = -a + 6\\ t > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = -a + 6\\ -a + 6 > 0 \end{cases} \Rightarrow a < 6$$

$$\begin{cases} t = 2 + 3|a|\\ t > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = 2 + 3|a|\\ 2 + 3|a| > 0 \end{cases} \Rightarrow a \in R$$

Найдём значения параметра $а$, при которых корни уравнения совпадают:

$$-a + 6 = 2 + 3|a| \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a \geq 0\\ -a + 6 = 2 + 3a \end{cases}\\ &\begin{cases} a < 0\\ -a + 6 = 2 - 3a \end{cases}\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a \geq 0\\ a = 1 \end{cases}\\ &\begin{cases} a < 0\\ a = -2 \end{cases}\\ \end{aligned}\right. \Rightarrow \left[\begin{aligned} &a = 1\\ &a = -2 \end{aligned}\right.$$

В итоге:

Уравнение имеет $1$ корень при:

$$a \in \{-2\} \cup \{1\} \cup [6; + \infty)$$

Ответ: $\{-2\} \cup \{1\} \cup [6; + \infty)$.

$$\sqrt{a(2^x - 2) + 2^{2x}} = 2^x- a \Leftrightarrow \sqrt{a(2^x - 2) + 4^x} = 2^x- a$$

Сделаем замену $2^x = t > 0$:

Проанализируем замену:

$t > 0$ – 1 решение $x$.

$t \leq 0$ – 0 решений $x$.

$$\sqrt{a(t - 2) + t^2} = t- a$$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$\begin{cases} (\sqrt{a(t - 2) + t^2})^2 = (t - a)^2 \\ t - a \geq 0 \\ t > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a(t - 2) + t^2 = t^2 - 2ta + a^2 \\ t \geq a \\ t > 0 \end{cases}$$

Упростим первое уравнение: $$at - 2a = -2ta + a^2 \Rightarrow 3at = a^2 + 2a \Rightarrow t = \frac{a^2 + 2a}{3a} = \frac{a(a + 2)}{3a}$$

Рассмотрим 2 случая, когда $a = 0$ и $a \neq 0$:

1. $a = 0$

Подставим данное значение в исходное уравнение:

$$\sqrt{0\cdot(2^x - 2) + 4^x} = 2^x - 0 \Leftrightarrow2^x = 2^x$$

Такое уравнение имеет бесконечное количество решений, поэтому $a = 0$ нам не подходит.

1. $a \neq 0$:

Система примет вид:

$$\begin{cases} t = \frac{a(a + 2)}{3a}\\ t \geq a\\ a \neq 0\\ t > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = \frac{a + 2}{3}\\ \frac{a + 2}{3} \geq a\\ a \neq 0\\ \frac{a + 2}{3} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = \frac{a + 2}{3}\\ a \leq 1\\ a \neq 0\\ a > -2 \end{cases}$$

Откуда:

$$a \in (-2; 0) \cup (0; 1]$$

Ответ: $(-2; 0) \cup (0; 1]$

Сделаем замену $t = |x - 2a - 1| + |x - 2a + 1|$.

$$t^2 + at + a^2 - 48 = 0$$

Построим график зависимости $t$ от $x$ и проанализируем его. Для этого последовательно раскроем модули.

$$\begin{cases} t = x - 2a -1 + x -2a + 1 , \text{ при }x \geq 2a + 1\\ t = -x + 2a + 1 + x - 2a + 1, \text{ при } 2a - 1< x < 2a + 1\\ t = -x + 2a + 1 - x + 2 a - 1, \text{ при } x \leq 2a - 1 \\ \end{cases}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow\begin{cases} t = 2x - 4a, \text{ при }x \geq 2a + 1\\ t = 2, \text{ при } 2a - 1< x < 2a + 1\\ t = -2x + 4a, \text{ при } x \leq 2a - 1 \\ \end{cases}$$

Строим график:

Заметим, что при:

1. $t < 2$ исходное уравнение не будет иметь решений.

2. $t = 2$ исходное уравнение будет иметь бесконечно много решений.

3. $t > 2$ исходное уравнение будет иметь 2 решения для каждого такого значения $t$.

Исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения, если:

a) Квадратное уравнение $t^2 + at + a^2 - 48 = 0$ имеет ровно 1 корень, больший $2$.

б) Квадратное уравнение $t^2 + at + a^2 - 48 = 0$ будет иметь 2 различных корня, один из которых строго больше $2$, а второй строго меньше $2$.

Последовательно рассмотрим данные случаи:

а) Зададим необходимые условия и составим систему:

$$\begin{cases} D = 0\\ t_{0} > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 - 4a^2+ 192 = 0\\ -\tfrac{a}{2} > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a^2 - 192 = 0\\ a < -4 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} a = \pm8\\ a < -4 \end{cases} \Leftrightarrow a = -8$$

б) Графиком квадратичной функции $t^2 + at + a^2 - 48$ является парабола с ветями, направленными вверх. Для того чтобы корни уравнения $t^2 + at + a^2 - 48 = 0$ находились по разные стороны от точки $t = 2$ необходимо, чтобы значение функции в этой точке было строго отрицательным: $$f(t) = t^2 + at + a^2 - 48$$

$$f(2) < 0 \Leftrightarrow 4 + 2a + a^2 - 48 < 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a - 44 < 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} a < -1 + 3\sqrt{5}\\ a > -1 - 3\sqrt5 \end{cases}$$

Объединяя полученные значения, получаем:

$$(-1 - 3\sqrt5; -1 + 3\sqrt5) \cup \{-8\}$$

Ответ: $(-1 - 3\sqrt5; -1 + 3\sqrt5) \cup \{-8\}$