Тип 18 № 10977

Сделаем замену $2^x = t$, $t > 0$:

Одно положительное решение $t$ исходного уравнения даёт одно решение для $x$, поэтому уравнение относительно переменной $t$ будет иметь столько же корней, сколько и уравнение относительно переменной $x$.

$$t^2 + (a - 6)t = (2 + 3|a|)t+ (a - 6)(3|a| + 2)$$ $$t^2 + (a - 6)t - (2 + 3|a|)t - (a - 6)(3|a| + 2) = 0$$ $$t(t + (a - 6)) - (2 + 3|a|)(t + (a - 6)) = 0$$ $$(t + a - 6)(t - 2 - 3|a|) = 0$$ $$t = -a + 6 \text{ или } t = 2 + 3|a|$$

По условию $t > 0$. Проверим корни на это условие:

$$\begin{cases} t = -a + 6\\ t > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = -a + 6\\ -a + 6 > 0 \end{cases} \Rightarrow a < 6$$

$$\begin{cases} t = 2 + 3|a|\\ t > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = 2 + 3|a|\\ 2 + 3|a| > 0 \end{cases} \Rightarrow a \in R$$

Найдём значения параметра $а$, при которых корни уравнения совпадают:

$$-a + 6 = 2 + 3|a| \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a \geq 0\\ -a + 6 = 2 + 3a \end{cases}\\ &\begin{cases} a < 0\\ -a + 6 = 2 - 3a \end{cases}\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a \geq 0\\ a = 1 \end{cases}\\ &\begin{cases} a < 0\\ a = -2 \end{cases}\\ \end{aligned}\right. \Rightarrow \left[\begin{aligned} &a = 1\\ &a = -2 \end{aligned}\right.$$

В итоге:

Уравнение имеет $1$ корень при:

$$a \in \{-2\} \cup \{1\} \cup [6; + \infty)$$

Ответ: $\{-2\} \cup \{1\} \cup [6; + \infty)$.