Тип 18 № 10978

$$\sqrt{a(2^x - 2) + 2^{2x}} = 2^x- a \Leftrightarrow \sqrt{a(2^x - 2) + 4^x} = 2^x- a$$

Сделаем замену $2^x = t > 0$:

Проанализируем замену:

$t > 0$ – 1 решение $x$.

$t \leq 0$ – 0 решений $x$.

$$\sqrt{a(t - 2) + t^2} = t- a$$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$\begin{cases} (\sqrt{a(t - 2) + t^2})^2 = (t - a)^2 \\ t - a \geq 0 \\ t > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a(t - 2) + t^2 = t^2 - 2ta + a^2 \\ t \geq a \\ t > 0 \end{cases}$$

Упростим первое уравнение: $$at - 2a = -2ta + a^2 \Rightarrow 3at = a^2 + 2a \Rightarrow t = \frac{a^2 + 2a}{3a} = \frac{a(a + 2)}{3a}$$

Рассмотрим 2 случая, когда $a = 0$ и $a \neq 0$:

1. $a = 0$

Подставим данное значение в исходное уравнение:

$$\sqrt{0\cdot(2^x - 2) + 4^x} = 2^x - 0 \Leftrightarrow2^x = 2^x$$

Такое уравнение имеет бесконечное количество решений, поэтому $a = 0$ нам не подходит.

1. $a \neq 0$:

Система примет вид:

$$\begin{cases} t = \frac{a(a + 2)}{3a}\\ t \geq a\\ a \neq 0\\ t > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = \frac{a + 2}{3}\\ \frac{a + 2}{3} \geq a\\ a \neq 0\\ \frac{a + 2}{3} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = \frac{a + 2}{3}\\ a \leq 1\\ a \neq 0\\ a > -2 \end{cases}$$

Откуда:

$$a \in (-2; 0) \cup (0; 1]$$

Ответ: $(-2; 0) \cup (0; 1]$