Иррациональные уравнения

а) Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $\sqrt{16 - 25x^2} = 0$: $$16 - 25x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{16}{25} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\frac{4}{5} = \pm0.8.$$

2. $9^{3x+2} - 163 \cdot 27^x + 2 = 0$: $$9^{3x+2} = 81 \cdot 9^{3x} = 81 \cdot 3^{6x}, \quad 27^x = 3^{3x}.$$ Тогда уравнение принимает вид: $$81 \cdot 3^{6x} - 163 \cdot 3^{3x} + 2 = 0.$$ Сделаем замену $t = 3^{3x} > 0$: $$81 t^2 - 163 t + 2 = 0,$$ $$D = 163^2 - 4 \cdot 81 \cdot 2 = 25921 = 161^2,$$ $$t_{1,2} = \frac{163 \pm 161}{162}, \quad t_1 = 2, \quad t_2 = \frac{1}{81}.$$

Возвращаемся к $x$: $$3^{3x} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\log_3 2}{3},$$ $$3^{3x} = \frac{1}{81} = 3^{-4} \quad \Rightarrow \quad 3x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{4}{3}.$$

Учтём, что выражение $\sqrt{16 - 25x^2}$ определено при $16 - 25x^2 \geq 0$, т.е. при $|x| \leq 0.8$. Значит, корень $x = -\frac{4}{3} \approx -1.33$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он не входит в ответ.

Итак, корни уравнения: $$x = -0.8, \; x = 0.8, \; x = \frac{\log_3 2}{3}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ 0.4; 4 \right]$:

$x = -0.8 \notin [0.4; 4]$.

$x = 0.8 \in [0.4; 4]$.

$x = \frac{\log_3 2}{3} \approx 0.21 < 0.4$ → не принадлежит отрезку.

Корень, принадлежащий отрезку: $0.8.$

Ответ: а) $-0.8, \; \frac{\log_3 2}{3}, \; 0.8;$

б) $0.8.$

а) Подкоренные выражения должны быть равны и неотрицательны:

$$\sqrt{x^4+8x^3+2x^2-1}=\sqrt{x^4+2x^2} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x^4+2x^2 \ge 0;\\ x^4+8x^3+2x^2-1=x^4+2x^2 \end{cases} \Leftrightarrow 8x^3-1=0 \Leftrightarrow x^3=\frac18 \Leftrightarrow x=\frac12.$$

б) Заметим, что

$$\frac12=\log_3 3^{\frac12}=\log_3 \sqrt{3}.$$ Неравенство $0,5\le \sqrt{3}\le 2$ является верным, следовательно, корень $x=\frac12$ принадлежит отрезку $[\log_3 0,5;\log_3 2]$.

Ответ: а) $\left\{\frac12\right\}$; б) $\left\{\frac12\right\}$.