Квадратичные функции

Из условия задачи нам известны следующие значения функции: $$\begin{align*} f(-2) &= 4a - 2b - 6 = -4 \\ f(1) &= a + b - 6 = -1 \end{align*}$$

Составим и решим систему уравнений: $$\begin{cases} 4a - 2b = 2 \\ a + b = 5 \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на 2: $$\begin{cases} 4a - 2b = 2 \\ 2a + 2b = 10 \end{cases}$$

Сложим уравнения: $$6a = 12 \Rightarrow a = 2$$

Подставим $a = 2$ во второе уравнение: $$2 + b = 5 \Rightarrow b = 3$$

Теперь запишем уравнение функции: $$f(x) = 2x^2 + 3x - 6$$

Вычислим $f(-6)$: $$f(-6) = 2 \cdot (-6)^2 + 3 \cdot (-6) - 6 = 2 \cdot 36 - 18 - 6 = 72 - 18 - 6 = 48$$

Решение 1.

Нам известны точки: $$(-4, -3), (-3, -2), (-5, -2)$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} a\cdot(-4)^2 + b\cdot(-4) + c = -3\\ a\cdot(-3)^2 + b\cdot(-3) + c = -2\\ a\cdot(-5)^2 + b\cdot(-5) + c = -2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 16a -4b + c = -3\\ 9a -3b + c = -2\\ 25a - 5b + c = -2 \end{cases} \Leftrightarrow$$

Решая систему, мы получаем значения: $$a = 1, b = 8, c = 13$$

Запишем функцию: $$f(x) = x^2 + 8x + 13$$

Найдём значение $f(-12) = (-12)^2 + 8\cdot(-12) + 13 = 144 - 96 + 13 = 61$

Решение 2.

Из графика известно:

• Вершина параболы в точке $(-4, -3)$
• Точка $(-3, -2)$ принадлежит графику

Запишем уравнение в виде: $$f(x) = a(x + 4)^2 - 3$$

Используем точку $(-3, -2)$: $$-2 = a(-3 + 4)^2 - 3 \Rightarrow a = 1$$

Таким образом: $$f(x) = (x + 4)^2 - 3$$

Вычислим $f(-12)$: $$f(-12) = (-12 + 4)^2 - 3 = (-8)^2 - 3 = 64 - 3 = 61$$

Решение 1.

Нам известны точки: $$(-4, -3), (-3, -2), (-5, -2)$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} a\cdot(-4)^2 + b\cdot(-4) + c = -3\\ a\cdot(-3)^2 + b\cdot(-3) + c = -2\\ a\cdot(-5)^2 + b\cdot(-5) + c = -2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 16a -4b + c = -3\\ 9a -3b + c = -2\\ 25a - 5b + c = -2 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} c = -16a + 4b -3\\ 9a -3b + c = -2\\ 25a - 5b + c = -2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = -16a + 4b -3\\ 9a -3b -16a + 4b -3 = -2\\ 25a - 5b -16a + 4b -3 = -2 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} c = -16a + 4b -3\\ -7a + b = 1\\ 9a - b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = -16a + 4b -3\\ b = 7a + 1\\ 9a - (7a + 1) = 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} c = -16a + 4b -3\\ b = 7a + 1\\ 2a - 1 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = -16a + 4b -3\\ b = 7\cdot1 + 1\\ a = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = -16 + 4\cdot8 -3\\ b = 8\\ a = 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} c = 13\\ b = 8\\ a = 1 \end{cases}$$

Решая систему получаем значения: $$a = 1, b = 8, c = 13$$

Запишем функцию: $$f(x) = x^2 + 8x + 13$$

Найдём значение $f(-12) = (-12)^2 + 8\cdot(-12) + 13 = 144 - 96 + 13 = 61$

Решение 2.

Из графика известно:

• Вершина параболы в точке $(-4, -3)$
• Точка $(-3, -2)$ принадлежит графику

Запишем уравнение в виде: $$f(x) = a(x + 4)^2 - 3$$

Используем точку $(-3, -2)$: $$-2 = a(-3 + 4)^2 - 3 \Rightarrow a = 1$$

Таким образом: $$f(x) = (x + 4)^2 - 3$$

Вычислим $f(-12)$: $$f(-12) = (-12 + 4)^2 - 3 = (-8)^2 - 3 = 64 - 3 = 61$$

Решение 1.

Нам известны три точки: $$(-1, -1), (-2, -4), (-3, -5)$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} a\cdot(-1)^2 -b + c = -1\\ a\cdot(-2)^2 - 2b + c = -4\\ a\cdot(-3)^2 - 3b + c = -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a - b + c = -1\\ 4a - 2b + c = -4\\ 9a - 3b + c = -5 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} a = b - c - 1\\ 4(b - c - 1) - 2b + c = -4\\ 9(b - c - 1) - 3b + c = -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = b - c - 1\\ 4b - 4c - 4 - 2b + c = -4\\ 9b - 9c - 9 - 3b + c = -5 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} a = b - c - 1\\ 2b - 3c = 0\\ 6b - 8c = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = b - c - 1\\ b = 1,5c\\ 6(1,5c) - 8c = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = b - c - 1\\ b = 1,5c\\ 9c - 8c = 4 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} a = b - c - 1\\ b = 1,5c\\ c = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1\\ b = 6\\ c = 4 \end{cases}$$

Решая систему, мы получаем значения: $$a = 1, b = 6, c = 4$$

Запишем функцию: $$f(x) = x^2 + 6x + 4$$

Найдём значение $f(1)$: $$f(1) = 1 + 6 + 4 = 11$$

Решение 2.

Из графика известно:

• Вершина параболы в точке $(-3, -5)$
• Точка $(-1, -1)$ принадлежит графику

Запишем уравнение в виде: $$f(x) = a(x + 3)^2 - 5$$

Используем точку $(-1, -1)$: $$-1 = a(-1 + 3)^2 - 5 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1$$

Таким образом: $$f(x) = (x + 3)^2 - 5$$

Вычислим $f(1)$: $$f(1) = (1 + 3)^2 - 5 = 16 - 5 = 11$$

Решение 1:

Из графика видно, что:

• Вершина параболы находится в точке $(-3, -5)$
• Коэффициент $a = 1$ (парабола стандартного вида)

Запишем уравнение в виде: $$f(x) = (x + 3)^2 - 5$$

Вычислим $f(-9)$: $$f(-9) = (-9 + 3)^2 - 5 = (-6)^2 - 5 = 36 - 5 = 31$$

Решение 2:

Из графика известны три точки: $$\begin{align*} f(-5) &= -1 \\ f(-3) &= -5 \\ f(-2) &= -4 \end{align*}$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} 25a - 5b + c = -1 \\ 9a - 3b + c = -5 \\ 4a - 2b + c = -4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = -25a + 5b -1 \\ 9a - 3b + (-25a + 5b -1) = -5 \\ 4a - 2b + (-25a + 5b -1) = -4 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} c = -25a + 5b -1 \\ -16a +2b - 1 = -5 \\ -21a + 3b - 1 = -4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = -25a + 5b -1 \\ b = 8a -2 \\ -21a + 3(8a -2) - 1 = -4 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\begin{cases} c = -25a + 5b -1 \\ b = 8a -2 \\ -21a + 24a -6 - 1 = -4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = -25a + 5b -1 \\ b = 8a -2 \\ 3a = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 4 \\ b = 6 \\ a = 1 \end{cases}$$

Решая систему, получим: $$a = 1, \quad b = 6, \quad c = 4$$

Таким образом: $$f(x) = x^2 + 6x + 4$$

Вычислим $f(-9)$: $$f(-9) = (-9)^2 + 6 \cdot (-9) + 4 = 81 - 54 + 4 = 31$$