Квадратичные функции

1. Найдём коэффициенты $b$ и $c$:

Из графика известны две точки: $$f(-2) = -2 \quad \text{и} \quad f(1) = 1$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} 2 \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + c = -2 \\ 2 \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 8 - 2b + c = -2 \\ 2 + b + c = 1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} -2b + c = -10 \\ b + c = -1 \end{cases}$$

Решим систему: $$\begin{cases} -2b + c = -10 \\ b + c = -1 \end{cases}$$ Вычтем второе уравнение из первого: $$-3b = -9 \Rightarrow b = 3$$ Подставим $b = 3$ во второе уравнение: $$3 + c = -1 \Rightarrow c = -4$$

1. Запишем функцию: $$f(x) = 2x^2 + 3x - 4$$

2. Вычислим $f(-5)$: $$f(-5) = 2 \cdot (-5)^2 + 3 \cdot (-5) - 4 = 2 \cdot 25 - 15 - 4 = 50 - 15 - 4 = 31$$

Ответ 31

Решение 1 (через вершину параболы)

1. Дана вершина параболы в точке $(1, -6)$, поэтому: $$f(x) = a(x-1)^2 - 6$$

2. Используем точку $(3, 2)$: $$2 = a(3-1)^2 - 6 \Rightarrow 4a = 8 \Rightarrow a = 2$$

3. Получаем уравнение: $$f(x) = 2(x-1)^2 - 6 = 2x^2 - 4x - 4$$

4. Вычисляем $f(-3)$: $$f(-3) = 2(-3)^2 - 4(-3) - 4 = 18 + 12 - 4 = 26$$

Решение 2 (через систему уравнений)

1. Используем известные точки: $$\begin{cases} f(1) = -6 \\ f(3) = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a(1)^2 - 4(1) + c = -6 \\ a(3)^2 - 4(3) + c = 2 \end{cases}$$

2. Упрощаем систему: $$\begin{cases} a + c = -2 \\ 9a + c = 14 \end{cases}$$

3. Решаем систему: $$\begin{cases} 8a = 16 \\ c = -2 - a \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 2 \\ c = -4 \end{cases}$$

4. Получаем уравнение: $$f(x) = 2x^2 - 4x - 4$$

5. Вычисляем $f(-3)$: $$f(-3) = 2(-3)^2 - 4(-3) - 4 = 18 + 12 - 4 = 26$$

Ответ 26

Из графика известно:

• Вершина параболы в точке $(-4, -3)$
• Точка $(-3, -2)$ принадлежит графику

Запишем уравнение в виде: $$f(x) = a(x + 4)^2 - 3$$

Используем точку $(-3, -2)$: $$-2 = a(-3 + 4)^2 - 3 \Rightarrow a = 1$$

Таким образом: $$f(x) = (x + 4)^2 - 3$$

Вычислим $f(-12)$: $$f(-12) = (-12 + 4)^2 - 3 = (-8)^2 - 3 = 64 - 3 = 61$$

Из графика известно:

• Вершина параболы в точке $(-3, -5)$
• Точка $(-1, -1)$ принадлежит графику

Запишем уравнение в виде: $$f(x) = a(x + 3)^2 - 5$$

Используем точку $(-1, -1)$: $$-1 = a(-1 + 3)^2 - 5 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1$$

Таким образом: $$f(x) = (x + 3)^2 - 5$$

Вычислим $f(1)$: $$f(1) = (1 + 3)^2 - 5 = 16 - 5 = 11$$

Решение 1:

Из графика видно, что:

• Вершина параболы находится в точке $(-3, -5)$
• Коэффициент $a = 1$ (парабола стандартного вида)

Запишем уравнение в виде: $$f(x) = (x + 3)^2 - 5$$

Вычислим $f(-9)$: $$f(-9) = (-9 + 3)^2 - 5 = (-6)^2 - 5 = 36 - 5 = 31$$

Решение 2:

Из графика известны три точки: $$\begin{align*} f(-5) &= -1 \\ f(-3) &= -5 \\ f(-2) &= -4 \end{align*}$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} 25a - 5b + c = -1 \\ 9a - 3b + c = -5 \\ 4a - 2b + c = -4 \end{cases}$$

Решая систему, получим: $$a = 1, \quad b = 6, \quad c = 4$$

Таким образом: $$f(x) = x^2 + 6x + 4$$

Вычислим $f(-9)$: $$f(-9) = (-9)^2 + 6 \cdot (-9) + 4 = 81 - 54 + 4 = 31$$