Текстовые задачи

Пусть масса первого сплава равна $x$ кг, тогда масса второго сплава равна $x + 3$ кг. Сумма масс меди в сплавах до получения третьего сплава равна массе меди в третьем сплаве:

$$0.1x + 0.4(x + 3) = 0.3(2x + 3) \Leftrightarrow 0.1x + 0.4x + 1.2 = 0.6x + 0.9$$ $$0.5x + 1.2 = 0.6x + 0.9 \Leftrightarrow -0.1x = -0.3 \Leftrightarrow x = 3$$

Масса третьего сплава: $$2x + 3 = 9 \text{ кг}$$

Пусть масса $30\%$-ного раствора равна $x$ кг, а $60\%$-ного — $y$ кг. Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} 0.3x + 0.6y = 0.36(x + y + 10) \\ 0.3x + 0.6y + 5 = 0.41(x + y + 10) \end{cases}$$

Упростим первое уравнение: $$0.3x + 0.6y = 0.36x + 0.36y + 3.6 \Rightarrow -0.06x + 0.24y = 3.6$$

Упростим второе уравнение: $$0.3x + 0.6y + 5 = 0.41x + 0.41y + 4.1 \Rightarrow -0.11x + 0.19y = -0.9$$

Решим систему: $$\begin{cases} -0.06x + 0.24y = 3.6 \\ -0.11x + 0.19y = -0.9 \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $11$, второе на $6$: $$\begin{cases} -0.66x + 2.64y = 39.6 \\ -0.66x + 1.14y = -5.4 \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого: $$1.5y = 45 \Rightarrow y = 30$$

Подставим $y = 30$ в первое уравнение: $$-0.06x + 7.2 = 3.6 \Rightarrow -0.06x = -3.6 \Rightarrow x = 60$$

Пусть концентрация кислоты в первом сосуде равна $x\%$, а во втором — $y\%$. Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} \frac{30x + 20y}{50} = 68 \\ \\ \frac{x + y}{2} = 70 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3x + 2y = 340 \\ x + y = 140 \end{cases}$$

Из второго уравнения: $y = 140 - x$. Подставим в первое: $$3x + 2(140 - x) = 340 \Rightarrow 3x + 280 - 2x = 340 \Rightarrow x = 60$$

Количество кислоты в первом сосуде: $$30 \cdot 0.6 = 18 \text{ кг}$$

Пусть бригада работала $n$ дней, а в первый день покрасила $k_1$ метров забора. Во второй день $k_2$ метров забора, где $k_1 < k_2$ и так далее. Тогда в последний день было покрашено $k_n$ метров. По условию: $$k_1 + k_n = 60$$

Общее количество покрашенного забора: $$S_n = \frac{k_1 + k_n}{2}\cdot n = 240 \Leftrightarrow n = \frac{480}{k_1 + k_n} \Leftrightarrow n = 8$$

Пусть в первый день рабочие проложили $a_1 = 3$ метра, а в последний день — $a_{10}$ метров. Длина проложенного тоннеля:

$$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = 500$$

Подставим известные значения:

$$\frac{3 + a_{10}}{2} \cdot 10 = 500 \Leftrightarrow 3 + a_{10} = 100 \Leftrightarrow a_{10} = 97$$