Ортоцентр

a) Заметим, что отрезок $AC$ виден из точек $K$ и $M$ под углом $90^\circ$, поэтому точки $M$, $K$, $C$ и $A$ лежат на одной окружности, диаметром которой является отрезок $AC$. Аналогично, точки $M$, $K$, $H$, $E$ лежат на окружности, диаметром которой является $MK$.

Пусть $\angle KAC=\alpha$. Тогда $\angle KAC=\angle KMC=\alpha$, так как они опираются на одну дугу $KC$ в окружности, описанной вокруг четырёхугольника $AMKC$. Кроме того, $\angle KMC=\angle KЕN=\alpha$, так как они опираются на одну дугу $KH$ в окружности, описанной вокруг четырёхугольника $MKHE$. Так как $\angle EОH=\angle OAC$, прямые $EH$ и $AC$ параллельны, поскольку это соответственные углы при пересечении $EH$ и $AC$ секущей $OA$. Это и требовалось доказать.

б) Используем подобие треугольников. Треугольники $MKB$ и $CBA$ подобны с коэффициентом подобия $k=\cos\beta$. Треугольники $OЕH$ и $OМK$ также подобны с тем же коэффициентом подобия. Кроме того, подобны треугольники $OMK$ и $AOC$, поэтому подобны треугольники $OЕH$ и $OAС$, причем коэффициент подобия равен $k=\cos^2\beta$. Тогда

$$EH=\cos^2\beta\cdot AC=AC\cos^2 45^\circ=\frac{1}{2}AC.$$

Тем самым искомое отношение длин сторон равно $1:2$.

Ответ: б) $1:2$.