Разные задачи

Поскольку $A+2+B-1=A+B+1$, с каждым ходом сумма чисел будет возрастать на $1$.

а) После $20$ ходов сумма станет

$$7+11+20=38<50,$$ значит, второе число пары не будет натуральным. Это запрещено.

б) Понадобится

$$600-(7+11)=582$$ хода. Такая ситуация возможна, если каждый раз на роль уменьшаемого выбирать большее из двух чисел — если оно равно $1$, то оба числа должны быть единицами, что невозможно, поскольку сумма чисел постоянно растёт и в самом начале равна

$$7+11>1+1.$$

в) Заметим, что разность между числами всегда меняется на $3$:

$$(A+2)-(B+1)=(A-B)-3.$$

Изначально эта разность равна

$$11-7=4$$ и не кратна трём, поэтому она никогда не станет равна нулю. Значит, сделать числа $50$ и $50$ не получится.

Поэтому сумма двух этих чисел будет не больше

$$49+50=99$$ и будет сделано не более

$$99-18=81$$ хода. Сделать столько ходов можно, например, так:

$$(7,11)\mapsto(9,10).$$ Затем $40$ раз повторить пару ходов

$$(x,x+1)\mapsto(x+2,x)\mapsto(x+1,x+2),$$ увеличивающую оба числа на $1$, если наибольшее не превосходило $49$.

Ответ: а) нет; б) $582$; в) $81$.

Решение. Обозначим сумму всех чисел на красных карточках $S_{red}$, а сумму всех чисел на синих карточках $S_{blue}$. Так как по условию среднее арифметическое всех чисел равно 16, то

$$\frac{S_{red}+S_{blue}}{50}=16 \Rightarrow S_{red}+S_{blue}=16\cdot 50=800$$

После увеличения в два раза всех чисел на синих карточках их сумма тоже увеличилась в два раза, а среднее арифметическое стало равно 31{,}2, то есть

$$\frac{S_{red}+2\cdot S_{blue}}{50}=31{,}2 \Rightarrow S_{red}+2\cdot S_{blue}=31{,}2\cdot 50=1560$$

$$(S_{red}+2\cdot S_{blue})-(S_{red}+S_{blue})=1560-800 \Rightarrow S_{blue}=760$$

$$S_{red}=800-S_{blue}=800-760=40$$

a) Если синих карточек 10, то красных

$$50-10=40$$

Так как на всех карточках написаны натуральные числа, то каждое число равно минимум 1. В таком случае сумма чисел на красных карточках равна 40, поскольку на всех красных карточках написано по 1. Иначе если увеличить хотя бы одно число, то сумма будет больше 40. Значит, теперь нужно понять, какие числа могли быть записаны на синих карточках. Заметим, что их сумма равна

$$760=76\cdot 10$$

Тогда можно взять 5 пар чисел, равноудаленных от числа 76, чтобы все числа были разные и сумма оставалась равной 760. Получается пример:

$$71,\ 72,\ 73,\ 74,\ 75,\ 77,\ 78,\ 79,\ 80,\ 81$$

Здесь все числа различные и больше 1, то есть любого из чисел на красных карточках.

б) Если красных карточек 10, то синих

$$50-10=40$$

Заметим, что если числа на всех красных карточках не больше 3, то сумма равна максимум $10\cdot 3=30$, но $S_{red}=40$ — противоречие. Значит, красная карточка с числом 4 или больше, значит, числа на синих карточках не меньше 5. Посчитаем наименьшую возможную сумму на синих карточках. Для этого вспомним формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: если $a_1$ — первый член, и $d$ — разность прогрессии, то

$$S_n=\frac{2a_1+d\cdot(n-1)}{2}\cdot n$$

Тогда первый член прогрессии равен 5 и каждый следующий увеличивается минимум на 1, а всего их 40:

$$5+6+\dots+44=\frac{49\cdot 40}{2}=980>760$$

Получили, что наименьшая сумма больше полученной из условия задачи, то есть 10 красных карточек быть не могло.

в) Докажем, что 36 и больше синих карточек быть не может. В этом случае красных карточек не больше 14, тогда наибольшее число на них не менее 3, иначе сумма будет равна максимум

$$2\cdot 14=28<40$$

Значит, числа на синих карточках не меньше 4. Посчитаем наименьшую возможную сумму на синих карточках, если чисел хотя бы бы 36:

$$4+5+\dots+39=\frac{43\cdot 36}{2}=774>760$$

Получили, что наименьшая сумма больше полученной из условия задачи, то есть не могло быть 36 и более синих. Теперь достаточно привести пример на 35 синих карточек.

Красные карточки: пять чисел 2 и десять чисел 3 с суммой

$$S_{red}=2\cdot 5+3\cdot 10=40$$

Синие карточки: 34 последовательных числа от 4 до 37 с суммой 697 и последнее число равно

$$760-697=63$$

Получили, что все числа различные и больше чисел на красных карточках. Значит, максимум могло быть 35 синих карточек.

Ответ: a) Да, может

б) Нет, не может

в) 35.