Разные задачи

а) Пусть первое число это $N$, второе $M = 4S(N)$, а третье $L = 4S(M)$.

Может ли $N + M + L = 2025$?

Приведем пример:

$$N = 1941$$ $$M = 4 \cdot (1 + 9 + 4 + 1) = 4 \cdot 15 = 60$$ $$L = 4 \cdot (6 + 0) = 4 \cdot 6 = 24$$ $$\text{Сумма этих чисел: } 1941 + 60 + 24 = 2025.$$

Ответ: Да, может.

б) Может ли $N + M + L = 2026$?

Представим $N$ (первое число) как $1000a + 100b + 10c + d$.

Тогда $M = 4(a + b + c + d)$ и $L = 4(a + b + c + d)$, то есть:

$$N + M + L = 1000a + 100b + 10c + d + 4(a + b + c + d) + 4(4(a + b + c + d)) =$$ $$= 1000a + 100b + 10c + d + 4a + 4b + 4c + 4d + 16a + 16b + 16c + 16d =$$ $$= (1000 + 4 + 16)a + (100 + 4 + 16)b + (10 + 4 + 16)c + (1 + 4 + 16)d =$$ $$= 1020a + 120b + 30c + 21d$$

Следовательно: $$N + M + L = 1020a + 120b + 30c + 21d$$

Так как $N$, $M$, $L$ — целые, то вся сумма кратна $3$, но $2026$ на $3$ не делится.

Ответ: Нет, не может.

в) По условию $L = 4S(M) = 16 \Rightarrow S(M) = 4$.

Так как $M = 4S(N)$, нужно найти все такие $M$, у которых сумма цифр равна $4$, и которые делятся на $4$ (иначе $M \ne 4S(N)$).

Переберём подходящие $M$ и вычислим соответствующие $S(N)$:

• $M = 4 \Rightarrow S(N) = 1$
• $M = 40 \Rightarrow S(N) = 10$
• $M = 112 \Rightarrow S(N) = 28$

Теперь найдём количество четырёхзначных чисел $N$, у которых сумма цифр равна $1$, $10$ или $28$.

Случай 1: $S(N) = 1$ Единственное четырёхзначное число: $1000$.

Случай 2: $S(N) = 10$

Перебираем возможные значения первой цифры $a_1$ (она от 1 до 9, т.к. число четырёхзначное), оставшиеся $a_2 + a_3 + a_4 = 10 - a_1$.

• $a_1 = 1 \Rightarrow a_2 + a_3 + a_4 = 9$: 55 вариантов
• $a_1 = 2 \Rightarrow a_2 + a_3 + a_4 = 8$: 45 вариантов
• $a_1 = 3 \Rightarrow 7$: 36 вариантов
• $a_1 = 4 \Rightarrow 6$: 28
• $a_1 = 5 \Rightarrow 5$: 21
• $a_1 = 6 \Rightarrow 4$: 15
• $a_1 = 7 \Rightarrow 3$: 10
• $a_1 = 8 \Rightarrow 2$: 6
• $a_1 = 9 \Rightarrow 1$: 3

Сумма: $55 + 45 + 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 = 219$

Случай 3: $S(N) = 28$

Аналогично:

• $a_1 = 9 \Rightarrow a_2 + a_3 + a_4 = 19$: 45 вариантов
• $a_1 = 8 \Rightarrow 20$: 36 вариантов
• $a_1 = 7 \Rightarrow 21$: 28
• $a_1 = 6 \Rightarrow 22$: 21
• $a_1 = 5 \Rightarrow 23$: 15
• $a_1 = 4 \Rightarrow 24$: 10
• $a_1 = 3 \Rightarrow 25$: 6
• $a_1 = 2 \Rightarrow 26$: 3
• $a_1 = 1 \Rightarrow 27$: 1

Сумма: $45 + 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 165$

Итоговое количество подходящих четырёхзначных чисел: $$1 + 219 + 165 = \boxed{385}$$

Ответ: а) да;
б) нет;
в) $385$

а) Пусть Мите выпало $15$ раз число $1$, $15$ раз число $3$ и $15$ раз число $4$. Тогда всего он совершил $$15+15+15=45$$ бросков, а их результат равен $$15\cdot(-1)+15\cdot(-3)+15\cdot4$$ $$=-15-45+60=-60+60=0.$$ Таким образом, фишка Мити оказалась на отметке «$0$».

б) Разобьём броски на пары «чётное число — нечётное число». Мы можем это сделать, так как по условию чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Внутри такой пары максимально возможное смещение влево равно $5-2=3$, поскольку наибольшее нечётное число на кубике равно $5$, а наименьшее чётное равно $2$.

Тогда для того, чтобы оказаться в точке «$-35$», необходимо не менее $$\frac{35}{3}=11\frac{2}{3}$$ пар. Поскольку число пар целое, их не менее $12$. Но давайте поймём, что внутри пары шаг обязательно равен нечётному числу, так как мы вычитаем из нечётного числа чётное. То есть за $12$ таких пар мы переместимся $12$ раз на нечётное число шагов, что является чётным числом в сумме, но $-35$ — число нечётное, поэтому пар не менее $13$. То есть всего бросков не менее $26$. Для $13$ пар представим пример.

Пусть Мите выпало $13$ раз число $5$, $12$ раз число $2$ и $1$ раз число $6$. Тогда его фишка оказалась на отметке $$13\cdot(-5)+12\cdot2+1\cdot6$$ $$=-65+24+6=-35.$$

в) Оценим снизу номер позиции фишки, если было сделано $2n$ бросков, то есть выпало $n$ чётных и $n$ нечётных чисел. Пусть выпало $a$ единиц, $b$ троек, $c$ четвёрок, $d$ шестёрок. Тогда количества пятёрок и двоек однозначно восстанавливаются — это $n-a-b$ и $n-c-d$ соответственно. Значит, позиция фишки будет равна $$-40=-a-3b-5(n-a-b)+4c+6d+2(n-c-d)=$$ $$=-a-3b-5n+5a+5b+4c+6d+2n-2c-2d=$$ $$=4a+2b-3n+2c+4d=4a+2b+2c+4d-3n.$$

Так как каждое число выпало не менее $1$ раза, причём все числа выпали разное количество раз, то имеют место неравенства: $$a+b+c+d\ge1+2+3+4=10,$$ $$a+d\ge1+2=3.$$

Тогда $$4a+2b+2c+4d=2(a+b+c+d)+2(a+d)\ge$$ $$\ge2\cdot10+2\cdot3=20+6=26.$$

Откуда $$4a+2b+2c+4d\ge26,$$ $$4a+2b+2c+4d-3n\ge26-3n,$$ $$-42\ge26-3n,$$ $$3n\ge26+42,$$ $$3n\ge68,$$ $$n\ge23.$$

При этом $n$ не может быть нечётным числом, так как при нечётных $n$ фишка оказывается на позициях с нечётной координатой. Тогда $n\ge24$. Таким образом, всего Митя сделал не менее $$2n=2\cdot24=48$$ бросков.

Приведём пример. Пусть число $1$ было выброшено $1$ раз, число $3$ — $3$ раза, число $5$ — $20$ раз, число $6$ — $4$ раза, число $4$ — $2$ раза, число $2$ — $18$ раз. Действительно, каждое число выпало не менее раза, нет двух чисел, которые выпали одинаковое количество раз, причём как чётные, так и нечётные числа выпали по $24$ раза. Итоговая позиция фишки равна $$1\cdot(-1)+3\cdot(-3)+20\cdot(-5)+4\cdot6+2\cdot4+18\cdot2$$ $$=-1-9-100+24+8+36=-110+68=-42.$$

Итого, Митя сделал $48$ бросков, что является минимально возможным количеством бросков, при котором выполняется условие задачи, и фишка оказалась на отметке «$-42$».

Ответ:

• [a)]а) Да
• [б)]б) $26$
• [в)]в) $48$

а) Пусть Мите выпало $15$ раз число $1$, $15$ раз число $3$ и $15$ раз число $4$. Тогда всего он совершил $$15+15+15=45$$ бросков, а их результат равен $$15\cdot(-1)+15\cdot(-3)+15\cdot4$$ $$=-15-45+60=-60+60=0.$$ Таким образом, фишка Мити оказалась на отметке «$0$».

б) Разобьём броски на пары «чётное число — нечётное число». Мы можем это сделать, так как по условию чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Внутри такой пары максимально возможное смещение влево равно $5-2=3$, поскольку наибольшее нечётное число на кубике равно $5$, а наименьшее чётное равно $2$.

Тогда для того, чтобы оказаться в точке «$-35$», необходимо не менее $$\frac{35}{3}=11\frac{2}{3}$$ пар. Поскольку число пар целое, их не менее $12$. Но давайте поймём, что внутри пары шаг обязательно равен нечётному числу, так как мы вычитаем из нечётного числа чётное. То есть за $12$ таких пар мы переместимся $12$ раз на нечётное число шагов, что является чётным числом в сумме, но $-35$ — число нечётное, поэтому пар не менее $13$. То есть всего бросков не менее $26$. Для $13$ пар представим пример.

Пусть Мите выпало $13$ раз число $5$, $12$ раз число $2$ и $1$ раз число $6$. Тогда его фишка оказалась на отметке $$13\cdot(-5)+12\cdot2+1\cdot6$$ $$=-65+24+6=-35.$$

в) Оценим снизу номер позиции фишки, если было сделано $2n$ бросков, то есть выпало $n$ чётных и $n$ нечётных чисел. Пусть выпало $a$ единиц, $b$ троек, $c$ четвёрок, $d$ шестёрок. Тогда количества пятёрок и двоек однозначно восстанавливаются — это $n-a-b$ и $n-c-d$ соответственно. Значит, позиция фишки будет равна $$-40=-a-3b-5(n-a-b)+4c+6d+2(n-c-d)=$$ $$=-a-3b-5n+5a+5b+4c+6d+2n-2c-2d=$$ $$=4a+2b-3n+2c+4d=4a+2b+2c+4d-3n.$$

Так как каждое число выпало не менее $1$ раза, причём все числа выпали разное количество раз, то имеют место неравенства: $$a+b+c+d\ge1+2+3+4=10,$$ $$a+d\ge1+2=3.$$

Тогда $$4a+2b+2c+4d=2(a+b+c+d)+2(a+d)\ge$$ $$\ge2\cdot10+2\cdot3=20+6=26.$$

Откуда $$4a+2b+2c+4d\ge26,$$ $$4a+2b+2c+4d-3n\ge26-3n,$$ $$-42\ge26-3n,$$ $$3n\ge26+42,$$ $$3n\ge68,$$ $$n\ge23.$$

При этом $n$ не может быть нечётным числом, так как при нечётных $n$ фишка оказывается на позициях с нечётной координатой. Тогда $n\ge24$. Таким образом, всего Митя сделал не менее $$2n=2\cdot24=48$$ бросков.

Приведём пример. Пусть число $1$ было выброшено $1$ раз, число $3$ — $3$ раза, число $5$ — $20$ раз, число $6$ — $4$ раза, число $4$ — $2$ раза, число $2$ — $18$ раз. Действительно, каждое число выпало не менее раза, нет двух чисел, которые выпали одинаковое количество раз, причём как чётные, так и нечётные числа выпали по $24$ раза. Итоговая позиция фишки равна $$1\cdot(-1)+3\cdot(-3)+20\cdot(-5)+4\cdot6+2\cdot4+18\cdot2$$ $$=-1-9-100+24+8+36=-110+68=-42.$$

Итого, Митя сделал $48$ бросков, что является минимально возможным количеством бросков, при котором выполняется условие задачи, и фишка оказалась на отметке «$-42$».

Ответ:

• [a)]а) Да
• [б)]б) $26$
• [в)]в) $48$

% Обозначения для удобства Обозначим $C_k$ — $k$-й спортсмен.
$(a_k; b_k; c_k) \Rightarrow R_k = 10a_k + 4b_k + c_k$ — формула для рейтинга.
$c_1$ — спортсмен с самым высоким рейтингом по новой формуле.

% Пример распределения рейтингов $$\begin{aligned} C_1(0; 0; 10) &\Rightarrow R_1 = 10 \\ C_2(1; 0; 9) &\Rightarrow R_2 = 19 \\ C_3(1; 1; 8) &\Rightarrow R_3 = 23 \\ C_4(1; 2; 7) &\Rightarrow R_4 = 27 \\ C_5(1; 3; 6) &\Rightarrow R_5 = 31 \\ C_6(1; 4; 5) &\Rightarrow R_6 = 35 \\ C_7(1; 5; 4) &\Rightarrow R_7 = 39 \\ C_8(1; 6; 3) &\Rightarrow R_8 = 43 \\ C_9(1; 7; 2) &\Rightarrow R_9 = 47 \\ C_{10}(2; 0; 8) &\Rightarrow R_{10} = 48 \end{aligned}$$

% Проверка на пункт а) а)
Проверим, может ли спортсмен с наивысшим рейтингом в этом году (например, $C_{10}$) иметь наименьший рейтинг по старым правилам.
Сравним $(a;b;c)$: $$C_1: (0; 0; 10),\quad C_{10}: (2; 0; 8)$$

% У C_{10} больше первых мест, чем у C_1 → рейтинг выше Видим, что $a_{10} > a_1$, следовательно, рейтинг $C_{10}$ выше и по старым правилам.
Ответ: Да

б)
Суммарное количество очков за один этап: $10 + 4 + 1 = 15$
Всего этапов — 10, значит всего очков: $150$
Предположим, что разность между любыми двумя рейтингами хотя бы $r$.
Пусть рейтинги возрастают: $$R_1, R_2, \ldots, R_{10}, \text{ где } R_{i+1} - R_i \ge r$$

Минимальная сумма тогда: $$R_1 + R_2 + \dots + R_{10} \ge 0 + r + 2r + \dots + 9r = 45r \Rightarrow 45r \le 150 \Rightarrow r \le \dfrac{10}{3} \Rightarrow r \le 3$$

Попробуем $r = 3$, это наибольшее целое значение, подходящее по условию.
Ответ: 3

в)
Обозначим сумму очков: $$\sum_{-} = R_{10} + R_9 + \dots + R_6 \quad \text{(5 наименьших)} \\ \sum_{+} = R_5 + R_4 + \dots + R_1 \quad \text{(5 наибольших)} \\$$

Разница между средними арифметическими: $$\frac{\sum_{+}}{5} - \frac{\sum_{-}}{5} = \frac{\sum_{+} - \sum_{-}}{5} = \frac{2k - 150}{5}, \text{ где } k = \sum_{+}$$

% Нужно минимизировать эту величину Минимум этой величины достигается при минимальном $2k - 150$ → минимизируем $k$

Но $k = \sum_{+}$ — сумма 5 наибольших рейтингов, а $\sum_{-} = 150 - k$ — 5 наименьших.
При равенстве сумм: $k = 75 \Rightarrow$ разница будет $0$.
Но нам нужна наименьшая положительная разность, при которой все рейтинги — разные.

Подбором можно найти: $$\sum_{+} = 90,\quad \sum_{-} = 60 \Rightarrow \frac{90 - 60}{5} = \boxed{6}$$

Ответ:
а) да
б) $3$
в) $6$

Сначала найдём суммарную массу всех камней: $$2 \cdot 100 + 6 \cdot 20 + 4 \cdot 4 = 200 + 120 + 16 = 336\ \text{тонн}.$$

а)

Обозначим массу первой группы как $x$. Тогда, по условию: $$\text{вторая группа: } x - 12, \quad \text{третья группа: } x + 12.$$ Сумма масс всех групп: $$x + (x - 12) + (x + 12) = 3x = 336 \Rightarrow x = 112.$$ Значит, массы групп: $112$, $100$ и $124$ тонн.

Проверим, можно ли собрать такие группы из имеющихся камней:

• В первую группу положим один камень на 100 т и три по 4 т: $100 + 3 \cdot 4 = 112$.
• Во вторую — один камень на 100 т: $100$.
• В третью — шесть по 20 т и один по 4 т: $6 \cdot 20 + 4 = 124$.

Такое разбиение возможно.

б)

Пусть масса каждой группы равна $y$. Тогда: $$3y = 336 \Rightarrow y = 112.$$ То есть требуется разложить камни на три группы по 112 тонн.

Попробуем:

• Первая группа: 1 камень на 100 т и 3 по 4 т: $100 + 3 \cdot 4 = 112$.
• Осталось 1 камень на 100 т, 6 по 20 т и 1 по 4 т.
• Вторая группа: чтобы получить 112 т, положим 6 камней по 20 т (это 120 т), но тогда потребуется камень массой $-8$ т — невозможно.

Альтернативно: если в одну из групп входит 3 камня по 4 т (12 т), то других таких групп не собрать — 4-тонных камней всего 4.

Значит, невозможно разложить на 3 группы по 112 тонн.

в)

Пусть массы групп — $m_1 > m_2 > m_3$, а $d$ — минимальное возможное значение, при котором: $$m_1 - m_2 \leq d \quad \text{и} \quad m_2 - m_3 \leq d.$$ Сумма всех трёх масс: $m_1 + m_2 + m_3 = 336$.

Так как все массы — целые и делятся на 4 (все камни кратны 4), $d$ также должно делиться на 4.

Из б) знаем, что $d \ne 0$, значит минимум — $d = 4$.

Проверим $d = 4$.

• Если $m_1 = 116$, то остальные две группы в сумме дают $220$ тонн. Надо распределить это как $m_2 = 112$, $m_3 = 108$. Но камней всего 336 т, а $116 + 112 + 108 = 336$, всё хорошо.
• Проверим подбор: 4-тонных камней не хватит, чтобы одновременно собрать группы с разницей ровно в 4 т. Подбор приводит к противоречиям (см. б)).
• Проверим $d = 8$. Возьмём: $m_1 = 120$, $m_2 = 112$, $m_3 = 104$. Это удовлетворяет: $$m_1 - m_2 = 8, \quad m_2 - m_3 = 8.$$ Проверим возможность разложения: - В первую группу: 6 камней по 20 т = 120 т. - Во вторую: 1 камень на 100 т и 3 по 4 т = $100 + 12 = 112$. - В третью: 1 камень на 100 т и 1 по 4 т = $100 + 4 = 104$.

Такое разбиение возможно. Значит, минимальное возможное $d = 8$.

Ответ:
а) Да, можно.
б) Нет, нельзя.
в) $d = 8$.