Тип 7 № 10697

По формуле разности кубов: $$\frac{(1 - \log_53)(\log_5^23 + \log_53 + 1)}{(\log_53 + \log_35 + 1)\log_5\frac{5}{3}} = \frac{(1 - \log_53)(\log_5^23 + \log_53 + 1)}{(\log_53 + \log_35 + 1)(\log_55 - \log_53)} =$$ $$= \frac{(1 - \log_53)(\log_5^23 + \log_53 + 1)}{(\log_53 + \log_35 + 1)(1 - \log_53)}$$

По свойству логарифмов $\log_ab = \frac{1}{\log_ba}$

$$= \frac{(\log_5^23 + \log_53 + 1)}{(\log_53 + \frac{1}{\log_53} + 1)} = \frac{\log_53(\log_5^23 + \log_53 + 1)}{(\log_5^23 + \log_53 + 1)} = \log_53$$

Ответ: $\log_53$