Сделаем замену t=5x и проанализируем её.
t≤0 – 0 решений x
t>0 – 1 решение x
Исходное уравнение будет иметь ровно 1 корень в том случае, если:
-
D=0 и корень положителен.
-
Один из корней уравнения положителен, а второй неположителен.
t2−2(a+1)t+9a−5=0
D=4(a+1)2−4(9a−5)=0⇔4a2+8a+4−36a+20=0⇔
⇔4a2−28a+24=0⇔a2−7a+6=0⇔a=1 или a=6
Найдём корни уравнения при данных значениях параметра:
a = 1
t2−4t+4=0⇔(t−2)2=0⇔t=2
Данное значение параметра нам подходит.
a = 6
t2−14t+49=0⇔t=7
Данное значение параметра нам подходит.
- Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был всегда положителен, а второй всегда неположителен, необходимо чтобы выполнялось условие: f(0)≤0
f(0)≤0⇔9a−5≤0⇔a≤95
Также необходимо проверить, что при f(0)=0 второй корень уравнения строго положителен:
f(0)=0⇔a=95
t2−2(95+1)t+5−5=0⇔t(t−928)=0⇔t=0 или t=928
Значит, a=95 нам подходит.
Объединяя полученные значения параметра, получаем: a∈(−∞;95]∪{1;6}
Ответ: (−∞;95]∪{1;6}