Тип 18 № 11054

$$x^4\cos a + 2x^2\sin a + \cos a = 0$$

Случай 1: $\cos a = 0$. Тогда уравнение принимает вид: $$2x^2\sin a = 0$$ Так как $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$, при $\cos a = 0$ имеем $\sin a \neq 0$. Следовательно: $$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0.$$ Получаем один корень, что не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, $\cos a \neq 0$.

Случай 2: $\cos a \neq 0$. Сделаем замену $t = x^2$, $t \geq 0$: $$t^2\cos a + 2t\sin a + \cos a = 0.$$ Поделим на $\cos a \neq 0$: $$t^2 + 2t \cdot \tg a + 1 = 0.$$

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два различных решения, квадратное уравнение относительно $t$ должно иметь:

• Либо один положительный корень,
• Либо два корня, один из которых положительный, а другой отрицательный.

1. Один положительный корень (дискриминант равен нулю, и корень положителен). $$\begin{cases} D = 0 \\ t_0 = -\tfrac{b}{2a} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4\tg^2 a - 4 = 0 \\ -\tfrac{2\tg a}{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \tg^2 a = 1 \\ \tg a < 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \tg a = -1$$ $$\tg a = -1 \Rightarrow a = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. Два корня, один положительный, другой отрицательный (произведение корней отрицательно). Для квадратного уравнения $t^2 + 2t \tan a + 1 = 0$ произведение корней равно $\frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 > 0$, поэтому данное условие не выполняется ни при каких $a$.

Ответ: $a = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.