( ∗ ) { x + 2 a − 1 ≥ 0 x − a ≥ 0 (*)
\begin{cases}
x + 2a - 1 \geq 0 \\
x - a \geq 0
\end{cases} ( ∗ ) { x + 2 a − 1 ≥ 0 x − a ≥ 0
Возведем обе части уравнения в квадрат:
x + 2 a − 1 + x − a + 2 x + 2 a − 1 x − a = 1 x + 2a - 1 + x - a + 2\sqrt{x + 2a - 1}\sqrt{x - a} = 1 x + 2 a − 1 + x − a + 2 x + 2 a − 1 x − a = 1
Упростим:
2 x + 2 a − 1 x − a = 2 − a − 2 x 2\sqrt{x + 2a - 1}\sqrt{x - a} = 2 - a - 2x 2 x + 2 a − 1 x − a = 2 − a − 2 x
Левая часть уравнения неотрицательна, поэтому чтобы снова возвести в квадрат необходимо наложить дополнительное условие: 2 − a − 2 x ≥ 0 2 - a - 2x \geq 0 2 − a − 2 x ≥ 0 4 ( x + 2 a − 1 ) ( x − a ) = 4 + a 2 + 4 x 2 − 4 a − 8 x + 4 a x 4(x + 2a - 1)(x - a) = 4 + a^2 + 4x^2 - 4a - 8x + 4ax 4 ( x + 2 a − 1 ) ( x − a ) = 4 + a 2 + 4 x 2 − 4 a − 8 x + 4 a x
Раскроем скобки:
4 x 2 − 4 a x + 8 a x − 8 a 2 − 4 x + 4 a = 4 + a 2 + 4 x 2 − 4 a − 8 x + 4 a x 4x^2 - 4ax + 8ax - 8a^2 - 4x + 4a = 4 + a^2 + 4x^2 - 4a - 8x + 4ax 4 x 2 − 4 a x + 8 a x − 8 a 2 − 4 x + 4 a = 4 + a 2 + 4 x 2 − 4 a − 8 x + 4 a x
Сократим подобные члены:
8 x − 4 x − 9 a 2 + 8 a − 4 = 0 8x - 4x - 9a^2 + 8a - 4 = 0 8 x − 4 x − 9 a 2 + 8 a − 4 = 0
Упростим:
4 x = 9 a 2 − 8 a + 4 4x = 9a^2 - 8a + 4 4 x = 9 a 2 − 8 a + 4
Отсюда:
x = 9 a 2 − 8 a + 4 4 x = \frac{9a^2 - 8a + 4}{4} x = 4 9 a 2 − 8 a + 4
Проверим ограничения:
x ≥ 1 − 2 a x \geq 1 - 2a x ≥ 1 − 2 a 9 a 2 − 8 a + 4 4 ≥ 1 − 2 a ⇒ 9 a 2 − 8 a + 4 ≥ 4 − 8 a ⇒ 9 a 2 ≥ 0 \frac{9a^2 - 8a + 4}{4} \geq 1 - 2a \Rightarrow 9a^2 - 8a + 4 \geq 4 - 8a \Rightarrow 9a^2 \geq 0 4 9 a 2 − 8 a + 4 ≥ 1 − 2 a ⇒ 9 a 2 − 8 a + 4 ≥ 4 − 8 a ⇒ 9 a 2 ≥ 0 a a a
x ≥ a x \geq a x ≥ a 9 a 2 − 8 a + 4 4 ≥ a ⇒ 9 a 2 − 8 a + 4 ≥ 4 a ⇒ 9 a 2 − 12 a + 4 ≥ 0 ⇒ ( 3 a − 2 ) 2 ≥ 0 \frac{9a^2 - 8a + 4}{4} \geq a \Rightarrow 9a^2 - 8a + 4 \geq 4a \Rightarrow 9a^2 - 12a + 4 \geq 0 \Rightarrow (3a - 2)^2 \geq 0 4 9 a 2 − 8 a + 4 ≥ a ⇒ 9 a 2 − 8 a + 4 ≥ 4 a ⇒ 9 a 2 − 12 a + 4 ≥ 0 ⇒ ( 3 a − 2 ) 2 ≥ 0 a a a
x ≤ 2 − a 2 x \leq \frac{2 - a}{2} x ≤ 2 2 − a 9 a 2 − 8 a + 4 4 ≤ 2 − a 2 ⇒ 9 a 2 − 8 a + 4 ≤ 4 − 2 a ⇒ 9 a 2 − 6 a ≤ 0 ⇒ a ( 3 a − 2 ) ≤ 0 ⇒ \frac{9a^2 - 8a + 4}{4} \leq \frac{2 - a}{2} \Rightarrow 9a^2 - 8a + 4 \leq 4 - 2a \Rightarrow 9a^2 - 6a \leq 0 \Rightarrow a(3a - 2) \leq 0
\Rightarrow 4 9 a 2 − 8 a + 4 ≤ 2 2 − a ⇒ 9 a 2 − 8 a + 4 ≤ 4 − 2 a ⇒ 9 a 2 − 6 a ≤ 0 ⇒ a ( 3 a − 2 ) ≤ 0 ⇒
⇒ a ∈ [ 0 ; 2 3 ] \Rightarrow
a \in \left[0; \frac{2}{3}\right] ⇒ a ∈ [ 0 ; 3 2 ]
Таким образом, уравнение имеет хотя бы один корень при:
a ∈ [ 0 ; 2 3 ] a \in \left[0; \frac{2}{3}\right] a ∈ [ 0 ; 3 2 ]
Ответ: [ 0 ; 2 3 ] \left[0; \frac{2}{3}\right] [ 0 ; 3 2 ]