Тип 18 № 11082

$$\left(*\right) \begin{cases} 4x - 3 \geq 0 \\ 2x - a > 0 \\ 3x + a > 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$$

$$\sqrt{4x - 3}(\ln(2x - a) - \ln(3x + a)) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sqrt{4x - 3} = 0 \\ &\ln(2x - a) - \ln(3x + a) = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &4x - 3 = 0 \\ &2x - a = 3x + a \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{3}{4} \\ &x = -2a \end{aligned} \right.$$

Найдём при каких значениях параметра $a$ найденные корни удовлетворяют условию $\left(*\right)$.

Для первого корня $x = \frac{3}{4}$: $$\begin{cases} 4\cdot\tfrac{3}{4} - 3 \geq 0 \\ 2\cdot\tfrac{3}{4} - a > 0 \\ 3\cdot\tfrac{3}{4} + a > 0 \\ 0 \leq \tfrac{3}{4} \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0 \geq 0 \\ \tfrac{3}{2} - a > 0 \\ \tfrac{9}{4} + a > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a < \tfrac{3}{2} \\ a > -\tfrac{9}{4} \end{cases}$$

Для второго корня $x = -2a$: $$\begin{cases} 4(-2a) - 3 \geq 0 \\ 2(-2a) - a > 0 \\ 3(-2a) + a > 0 \\ 0 \leq -2a \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -8a - 3 \geq 0 \\ -5a > 0 \\ -5a > 0 \\ -1 \leq 2a \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \leq -\frac{3}{8} \\ a < 0 \\ -\frac{1}{2} \leq a \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow -\frac{1}{2} \leq a \leq -\frac{3}{8}$$

Проверим совпадение корней:

$$-2a = \frac{3}{4} \Leftrightarrow a = -\frac{3}{8}$$

Ответ: $\left(-\frac{9}{4}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{8}; \frac{3}{2}\right)$