Тип 18 № 11084

$$\left(*\right) x^2 + 8x + 16 - a^2 \neq 0 \Leftrightarrow(x + 4 - a)(x + 4 + a) \neq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x \neq a - 4 \\ x \neq -a - 4 \\ \end{cases}$$

Найдём корни числителя: $$9x^2 - a^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{a^2}{9} \Rightarrow x = \pm\frac{a}{3}$$

Найдём при каких значениях параметра $a$ найденные корни удовлетворяют условию $\left(*\right)$, т.е являются корнями данного уравнения. Для этого подставим их в $\left(*\right)$

1. $x = \frac{a}{3}$

$$\begin{cases} \tfrac{a}{3} \neq a - 4 \\ \tfrac{a}{3} \neq -a - 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \neq 6 \\ a \neq -3 \\ \end{cases}$$

1. $x = -\frac{a}{3}$

$$\begin{cases} -\tfrac{a}{3} \neq a - 4 \\ -\tfrac{a}{3} \neq -a - 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \neq 3 \\ a \neq -6 \\ \end{cases}$$

1. Проверяем совпадение корней:

$$\frac{a}{3} = -\frac{a}{3} \Leftrightarrow a = 0$$

В итоге: при $a \neq 6, a \neq -3$ корень $x = \frac{a}{3}$ является корнем уравнения. При $a \neq -6, a \neq 3$ корень $x = -\frac{a}{3}$ является корнем уравнения. При $a = 0$ корни уравнения совпадают.

Таким образом, уравнение имеет ровно два различных корня при: $$a \in (-\infty, -6) \cup (-6, -3) \cup (-3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, +\infty)$$

Ответ: $(-\infty, -6) \cup (-6, -3) \cup (-3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, +\infty)$