Тип 18 № 11087

Сделаем замену $\sqrt{4x - x^2} = t \geq 0$.

Подкоренное выражение представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум этой функции находится в точке $x = 2$ и равен $4$.

Тогда: $t \in [0; 2]$.

Имеем: $$t^4 - 32t = a^2 - 14a$$

Введём функцию $f(t) = t^4 - 32t$

Возьмём производную от этой функции и найдём её нули: $$f'(t) = 4t^3 - 32 = 0 \Leftrightarrow t = 2$$

Точка $t = 2$ является точкой минимума данной функции. Следовательно на отрезке $[0; 2]$ она монотонно убывает.

$$f(0) = 0$$ $$f(2) = 16 - 64 = -48$$

Значения данной функции будут находиться в промежутке $[-48; 0]$ при $t \in [0; 2]$.

Тогда, чтобы исходное уравнение имело решения, необходимо чтобы правая часть уравнения лежала в промежутке $[-48; 0]$.

$$\begin{cases} a^2 - 14a \leq 0\\ a^2 - 14a \geq -48 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a(a - 14) \leq 0\\ a^2 - 14a + 48 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \in [0; 14]\\ (a - 6)(a - 8) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow a \in [0; 6] \cup [8; 14]$$

Ответ: $[0; 6] \cup [8; 14]$