Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2−x−a∣4x∣−x−3−a=0
имеет ровно два раличных решения.
Источник: Основная волна ЕГЭ-2020
Решение:
Данное уравнение равносильно системе:
{4∣x∣−x−3−a=0x2−x−a=0
Рассмотрим первое уравнение системы отдельно:
4∣x∣−x−3−a=0
Рассмотрим 2 случая раскрытия модуля:
{x≥04x−x−3−a=0{x<0−4x−x−3−a=0
Получаем систему:
⎩⎨⎧{x≥04x−x−3−a=0{x<0−4x−x−3−a=0x2−x−a=0⇔⎩⎨⎧{x≥0a=3x−3{x<0a=−5x−3a=x2−x
Графиком уравнения a=x2−x в системе координат XOA является парабола, с вершиной в точке (0,5;−0,25). Парабола a=x(x−1) пересекает ось X в точках 0,1;.
Построим графики уравнений в системе координат XOA:
Каждое значение параметра в данной системе координат представляет собой горизонтальную прямую. Каждая точка пересечения такой горизонтальной прямой с графиком функции a=3x−3 или a=−5x−3 дает ровно 1 решение для системы, а следовательно и для исходного уравнения.
Когда горизонтальная прямая пересекает параболу в её общих точках с прямыми a=3x−3 или a=−5x−3, исходное уравнение будет иметь ровно 1 решение. Найдём точки пересечения параболы с прямыми:
