Тип 18 № 11109

Перенесём все части уравнения с параметром в одну сторону.

$$\sqrt{6x - x^2 - 8} - 3 = \sqrt{1 + 2ax - a^2 - x^2} - a$$

Для решения задачи воспользуемся графическим методом.

Пусть:

$$\begin{cases} y = \sqrt{6x - x^2 - 8} - 3\\ y = \sqrt{1 + 2ax - a^2 - x^2} - a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y + 3= \sqrt{6x - x^2 - 8}\\ y + a = \sqrt{1 + 2ax - a^2 - x^2} \end{cases}$$ Возведём уравнения в квадрат учитывая, что $y - 3\geq 0$ и $y + a \geq 0$ $$\begin{cases} (y + 3)^2 = 6x - x^2 - 8\\ (y + a)^2 = 1 + 2ax - a^2 - x^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (y + 3)^2 + x^2 - 6x + 8 = 0\\ (y + a)^2 + x^2 - 2ax + a^2 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} (y + 3)^2 + (x - 3)^2 = 1\\ (y + a)^2 + (x - a)^2 = 1 \end{cases}$$

График первого уравнения системы представляет собой полуокружность (с учётом $y\geq 3$) с фиксированным центром в точке $(3; -3)$. График второго уравнения системы представляет собой также полуокружность, но уже с переменным центром в точке $(a; -a)$.

Траекторией движения второго графика является прямая $y = -x$, так как $y_0 = -a, x_0 = a$, тогда $y_0 = -x_0$.

Заметим, что центр первой полуокружности также будет лежать на прямой $y = -x$ и радиусы этих полуокружностей равны, поэтому в момент, когда центры полуокружностей совпадут система, а следовательно и исходное уравнение, будут иметь бесконечное количество решений, что нам не подходит. Центры окружностей совпадут при $a = 3$, значит это значение параметра мы в ответ не берём.

Построим графики и отметим ключевые случаи:

Из графика видно, что система (а значит и исходное уравнение) имеет ровно одно решение при $a \in [2; 4]$. Исключая значение $a = 3$, получаем полный ответ:

$$a \in [2; 3) \cup(3; 4]$$

Ответ: $[2; 3) \cup(3; 4]$