Окружности и полуокружности

Перенесём все части уравнения с параметром в одну сторону.

$$\sqrt{6x - x^2 - 8} - 3 = \sqrt{1 + 2ax - a^2 - x^2} - a$$

Для решения задачи воспользуемся графическим методом.

Пусть:

$$\begin{cases} y = \sqrt{6x - x^2 - 8} - 3\\ y = \sqrt{1 + 2ax - a^2 - x^2} - a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y + 3= \sqrt{6x - x^2 - 8}\\ y + a = \sqrt{1 + 2ax - a^2 - x^2} \end{cases}$$ Возведём уравнения в квадрат учитывая, что $y - 3\geq 0$ и $y + a \geq 0$ $$\begin{cases} (y + 3)^2 = 6x - x^2 - 8\\ (y + a)^2 = 1 + 2ax - a^2 - x^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (y + 3)^2 + x^2 - 6x + 8 = 0\\ (y + a)^2 + x^2 - 2ax + a^2 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} (y + 3)^2 + (x - 3)^2 = 1\\ (y + a)^2 + (x - a)^2 = 1 \end{cases}$$

График первого уравнения системы представляет собой полуокружность (с учётом $y\geq 3$) с фиксированным центром в точке $(3; -3)$. График второго уравнения системы представляет собой также полуокружность, но уже с переменным центром в точке $(a; -a)$.

Траекторией движения второго графика является прямая $y = -x$, так как $y_0 = -a, x_0 = a$, тогда $y_0 = -x_0$.

Заметим, что центр первой полуокружности также будет лежать на прямой $y = -x$ и радиусы этих полуокружностей равны, поэтому в момент, когда центры полуокружностей совпадут система, а следовательно и исходное уравнение, будут иметь бесконечное количество решений, что нам не подходит. Центры окружностей совпадут при $a = 3$, значит это значение параметра мы в ответ не берём.

Построим графики и отметим ключевые случаи:

Из графика видно, что система (а значит и исходное уравнение) имеет ровно одно решение при $a \in [2; 4]$. Исключая значение $a = 3$, получаем полный ответ:

$$a \in [2; 3) \cup(3; 4]$$

Ответ: $[2; 3) \cup(3; 4]$

Рассмотрим первое уравнение. Оно задаёт окружность с центром в точке $(a;0)$ и радиусом $1$. То есть семейство окружностей, центры которых находятся на оси ОХ.

Второе уравнение образует график модуля (галочка) с вершиной в точке $(3;\frac{1}{2})$ т.к. $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} x-3\ge 0\\ y=x-3+\frac{1}{2} \end{cases}\\ &\begin{cases} x-3 <0\\ y=-x+3+\frac{1}{2} \end{cases}\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x\ge 3\\ y=x-2.5 \end{cases}\\ &\begin{cases} x<3\\ y=-x+3.5 \end{cases}\\ \end{aligned}\right.$$

Графики имеют ровно одно пересечение только в двух точках касания прямых и окружности. Найдём их, используя формулу расстояния от точки до прямой (радиуса окружности): $$r=\frac{\mid Ax_0+By_0+C \mid}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ Где: $$Ax+By+C=0 - \textit{уравнение прямой}$$ $$(x_0;y_0) - \textit{координаты центра окружности}$$ Подставим числа: $$\left[\begin{aligned} 1=\frac{\mid -a-1\cdot 0+3.5\mid}{\sqrt{1^2+1^2}}\\ \\ 1=\frac{\mid a-1\cdot 0-2.5\mid}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} \end{aligned}\right.$$ $$\left[\begin{aligned} 1=\frac{\mid 3.5-a\mid}{\sqrt{2}}\\ \\ 1=\frac{\mid a-2.5\mid}{\sqrt{2}} \end{aligned}\right.$$ $$\left[\begin{aligned} 3.5-a=\sqrt{2}\\ a-3.5=\sqrt{2}\\ a-2.5=\sqrt{2}\\ 2.5-a=\sqrt{2} \end{aligned}\right.$$ $$\left[\begin{aligned} a=3.5-\sqrt{2}\\ a=3.5+\sqrt{2}\\ a=\sqrt{2}+2.5\\ a=2.5-\sqrt{2} \end{aligned}\right.$$ Выберем подходящие значения: от первого уравнения (левая ветвь галочки модуля) возьмём наименьшее, потому что наибольшее будет с точкой касания на продолжении прямой вниз, а от второго (правая ветвь галочки модуля) наибольшее аналогично. Таким образом всё уравнение имеет ровно одно решение когда: $$a=3.5-\sqrt{2} \quad \textit{и} \quad a=\sqrt{2}+2.5$$

Ответ: $a\in \{3.5-\sqrt{2}; \sqrt{2}+2.5\}$

Преобразуем первое уравнение: $$x^2 + y^2 - 2a(x + 2y) = 5 - 5a^2$$ $$\Longleftrightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 4ay + a^2 + 4a^2 = 5$$ $$\Longleftrightarrow (x - a)^2 + (y - 2a)^2 = 5.$$

Итак, первое уравнение задаёт окружность с центром $O(a; 2a)$ и радиусом $\sqrt{5}$. Найдём траекторию центра окружности: $$\begin{cases} x = a, \\ y = 2a \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad y = 2x.$$

Таким образом, центр окружности движется по прямой $y = 2x$, а радиус остаётся равным $\sqrt{5}$. Второе уравнение системы задаёт прямую $$y = -\dfrac{1}{2}x.$$

Построим соответствующие графики

Нас интересуют такие значения $a$, при которых окружность пересекает прямую $y = -\dfrac{1}{2}x$. Ключевыми положениями на рисунке будут случаи касания окружности этой прямой.

Заметим, что прямые $y = 2x$ и $y = -\dfrac{1}{2}x$ перпендикулярны. Следовательно, окружность касается прямой $y = -\dfrac{1}{2}x$ тогда и только тогда, когда её центр находится на расстоянии, равном радиусу, от точки пересечения этих прямых — начала координат.

Изобразим случай касания на рисунке: начало координат обозначим через $A$, центры окружностей в граничных случаях — через $O_1$ и $O_2$.

Пусть $$O_1(a_1; 2a_1), \qquad O_2(a_2; 2a_2),$$ причём $$AO_1 = AO_2 = \sqrt{5}.$$ Очевидно, что $a_1 > 0$, а $a_2 = -a_1$.

Найдём $a_1$ из условия расстояния: $$\sqrt{5} = \rho(O_1; A) = \sqrt{(a_1 - 0)^2 + (2a_1 - 0)^2} = \sqrt{5a_1^2}$$ $$\Longleftrightarrow \quad a_1 = \pm 1.$$

Так как $a_1 > 0$, получаем $$a_1 = 1, \qquad a_2 = -1.$$

Следовательно, при всех $a \in [-1;1]$ (то есть когда центр лежит на отрезке $O_1O_2$, что видно на рисунке) окружность имеет общие точки с прямой $y = -\dfrac{1}{2}x$. Если же $|a| > 1$, пересечений нет.

$$\boxed{a \in [-1;1].}$$

Преобразуем систему: $$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &x^2 + y^2 - 2y = 0\\ &y = -0,5x \end{aligned}\right. \\ y = 2x + 2a\\ y \geq -0,5x \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} &x^2 + (y - 1)^2 = 1\\ &y = -0,5x \end{aligned}\right. \\ y = 2x + 2a\\ y \geq -0,5x \end{cases}$$

Первое уравнение системы задаёт окружность с центром в точке $(0, 1)$, второе – прямую $y = -0,5x$, а третье – прямую, которая перемещается вверх или вниз в зависимости от параметра $2a$. По условию $y \geq -0,5x$ система имеет смысл тогда, когда все графики находятся выще прямой $y = -0,5x$.

Исходная система будет иметь ровно два различных решения тогда, когда прямая $y = 2x + 2a$ будет пересекать окружность и прямую $y = -0,5x$ в одной точке.

Построим графики и отметим граничные случаи:

Запишем промежуточный ответ: $$a \in \left\{\boxed{1}\right\} \cup \left[\boxed{2}; \boxed{3}\right] \cup \left\{\boxed{4}\right\}$$

Рассмотрим случаи. Найдём касания прямой $y = 2x + 2a$ и окружности (случаи $1$ и $4$):

$$y - 2x - 2a = 0$$

$$\rho = 1 = \frac{|2\cdot0 -1 + 2a|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} \Leftrightarrow \sqrt5 = |1 + 2a| \Leftrightarrow a = \frac{1 \pm \sqrt5}{2}$$

В случае $2$ прямая $y = 2x + 2a$ пересекает точку $(0,0) \Rightarrow a = 0$

В случае $3$ прямая $y = 2a + 2x $ пересекает общую точку пересечения окружности $x^2 + (y - 1)^2 = 1$. $$\begin{cases} x^2 + (y - 1)^2 = 1\\ y = -0,5x \end{cases} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x = 0\\ y = 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} x = -\tfrac{4}{5}\\ y = \frac{2}{5} \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Нам подходит точка $(-0,8; 0,4)$.

Подставим координаты точки в уравнение прямой $y = 2a + 2x$: $$0,4 = 2a - 1,6 \Leftrightarrow a = 1$$

Получаем ответ: $$a \in \left\{\frac{1 - \sqrt5}{2}\right\} \cup [0; 1] \cup \left\{\frac{1 + \sqrt5}{2}\right\}$$

Ответ: $\left\{\frac{1 - \sqrt5}{2}\right\} \cup [0; 1] \cup \left\{\frac{1 + \sqrt5}{2}\right\}$

Решение.

Решим систему графически. В системе координат $xOy$ графиком первого уравнения является ломаная — совокупность двух лучей, выходящих из точки $(-5;\,0)$ с угловым коэффициентом $k = ±\dfrac{1}{3}$. Графиком второго уравнения является семейство окружностей с центром в точке $(a;\,0)$ и радиусом 2. В зависимости от значения параметра $a$ окружность и ломаная могут не иметь общих точек или иметь одну, две, три или четыре общие точки.

Система имеет четыре решения при $a_1 < a < a_2$, где $a_1$ — абсцисса центра окружности, касающейся ломаной; $a_2$ — абсцисса центра окружности, проходящей через точку $(-5;\,0)$ и имеющей с ломаной три общих точки. Очевидно, что $a_2 = -7$. Найдём $a_1$, используя формулу расстояния от точки до прямой. Расстояние от точки $(a_1;\,0)$ до прямой $x + 3y + 5 = 0$ должно равняться радиусу окружности:

$$\frac{|a_1 + 3\cdot0 + 5|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = 2 \;\Longleftrightarrow\; \frac{|a_1 + 5|}{\sqrt{10}} = 2 \;\Longleftrightarrow\; |a_1 + 5| = 2\sqrt{10} \;\Longleftrightarrow\; a_1 = -5 \pm 2\sqrt{10}.$$

По смыслу задачи, $a_1 < -5$, поэтому $a_1 = -5 - 2\sqrt{10}$.

Тем самым система имеет четыре решения при $-5 - 2\sqrt{10} < a < -7$.

Ответ: $\left(-5 - 2\sqrt{10};\,-7\right)$.