Тип 18 № 11112

Преобразуем систему:

$$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &xy - x + 7 = 0\\ &y - x + 7 = 0 \end{aligned}\right.\\ y = 3x + a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} &y = -\tfrac{7}{x} + 1\\ &y = x - 7 \end{aligned}\right.\\ y = 3x + a \end{cases}$$

Уравнение $y = 3x + a$ представляет собой множество прямых, которые параллельны прямой $y = 3x$. Параметр в данном случае будет перемещать график вдоль оси $OY$.

Для того чтобы исходная система имела ровно $2$ различных решения, график прямой $y = 3x + a$ должен иметь ровно $2$ пересечения с остальными графиками функций.

Построим графики и отметим ключевые случаи:

Рассмотрим все значения параметра, постепенно увеличивая его. Начиная от $-\infty$ мы будем иметь 3 решения исходной системы, так как прямая $y = 3x + a$ будет пересекать правую ветвь гиперболы в двух точках, а также пересекать прямую $y = x - 7$.

Увеличивая значение параметра, мы придём к случаю, когда прямая $y = 3x + a$ пересечёт прямую $y = x - 7$ и гиперболу $y = 1 - \tfrac{7}{x}$ в их общей точке $(7; 0)$. В этом случае исходная система будет иметь ровно 2 решения. Найдём значения параметра, подставив координаты этой точки в уравнение $y = 3x + a$

$$y = 3x + a \Leftrightarrow a = y - 3x = 0 - 21 = -21$$

После этого, продолжая увеличивать значения параметра, мы снова будем получать по $3$ решения исходной системы, пока не попадём во вторую общую точку гиперболы и прямой $y = x - 7$, которая имеет координаты $(1; -6)$.

Найдём значение параметра по такому же принципу:

$$a = y - 3x = -6 - 3 = -9$$

Продолжая увеличивать значения параметра, мы все также будем получать по $3$ решения, пока прямая $y = 3x + a$ не дойдёт до момента касания с правой ветвью гиперболы. Затем будем получать всего 1 пересечение с прямой $y = x - 7$ до тех пор, пока второй раз не коснёмся уже левой ветви гиперболы.

В этих точках исходная система снова будет иметь $2$ решения.

Найдём точки касания прямой $y = 3x + a$ и гиперболы $y = 1 - \tfrac{7}{x}$.

$$3x + a = 1 - \frac{7}{x} \Leftrightarrow 3x^2+ (a - 1)x + 7 = 0$$ Чтобы данное уравнение имело единственное решение, нужно чтобы дискриминант был равен $0$:

$$D = (a - 1)^2 - 84 = 0 \Leftrightarrow (a - 1 - \sqrt{84})(a - 1 + \sqrt{84}) = 0 \Leftrightarrow a= 1 \pm \sqrt{84} \Leftrightarrow a = 1 \pm2\sqrt{21}$$

Значение параметра $a = 1 + 2\sqrt{21}$ соответствует касанию с левой ветвью гиперболы, a $a = 1 - 2\sqrt{21}$ касанию с правой ветвью.

Увеличивая значение параметра , начиная с $a = 1 + 2\sqrt{21}$ мы будем получать по $3$ решения. И так до бесконечности.

Ответ: $\{-21; -9; 1 - 2\sqrt{21}; 1 + 2\sqrt{21}\}$