Тип 18 № 11115

Обозначим левую часть уравнения за $g(x)$, а правую за $h(x)$. Уравнение будет иметь не более одного решения, если графики этих функций будут иметь не более одной точки пересечения.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} 2x^2 - 3x - 2 \geq 0\\ g(x) = 2x^2 - 3x - 2 \end{cases}\\ &\begin{cases} 2x^2 - 3x - 2 < 0\\ g(x) = -2x^2 + 3x + 2 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} \left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 2) \geq 0\\ g(x) = 2x^2 - 3x - 2 \end{cases}\\ &\begin{cases} \left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 2) < 0\\ g(x) = -2x^2 + 3x + 2 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \in (-\infty; -\tfrac{1}{2}] \cup [2; +\infty)\\ g(x) = 2x^2 - 3x - 2 \end{cases}\\ &\begin{cases} x \in (-\tfrac{1}{2}; 2)\\ g(x) = -2x^2 + 3x + 2 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

График функции $h(x)$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Параметр в данном случае будет перемещать пораболу вверх или вниз вдоль прямой $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{4} = -2$.

Из графика видно, что одна точка пересечения будет в том случае, когда парабола $y = -2x^2 - 8x + a$ коснётся левой ветви параболы $y = 2x^2 - 3x - 2$.

При дальнейшем увеличении значения параметра уравнение будет иметь уже более $1$ решения, так как будет более $1$ точки пересечения.

Найдём значение параметра, при котором будет касание:

$$-2x^2 - 8x + a = 2x^2 - 3x - 2 \Leftrightarrow4x^2 + 5x - 2 - a = 0$$ Получили квадратное уравнение. Чтобы существовало касание, необходимо, чтобы это уравнение имело одно решение. Для этого дискриминант должен быть равен нулю.

$$D = 25 + 16(2 + a) = 57 + 16 a = 0 \Leftrightarrow a = -\frac{57}{16}$$

При данном значении параметра точка касания графиков функций будет иметь координаты $(-\tfrac{5}{8}; \tfrac{21}{32})$, что сходится с положением точки на графике.

Ответ: $\left(-\infty; -\frac{57}{16}\right]$