Тип 18 № 11121

$$\begin{cases} (xy^2 - xy - 6y + 6)\sqrt{y + 2} = 0\\ y = ax \end{cases}$$ $$\begin{cases} (xy(y - 1) - 6(y - 1))\sqrt{y + 2} = 0\\ y = ax \end{cases}$$ $$\begin{cases} (xy - 6)(y - 1)\sqrt{y + 2} = 0\\ y = ax \end{cases}$$ $$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &xy = 6\\ &y = 1\\ &y = -2 \end{aligned}\right.\\ y = ax\\ y + 2 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} \left[\begin{aligned} &y = \tfrac{6}{x}\\ &y = 1\\ &y = -2 \end{aligned}\right.\\ y = ax\\ y \geq -2 \end{cases}$$

Для того чтобы исходная система уравнений имела ровно $3$ различных решения, прямая $y = ax$ должна пересекать остальные графики функций ровно в $3$ точках. Прямая $y = ax$ представляет собой семейство прямых, проходящих через точку $(0;0)$. Параметр $a$ в данном случае отвечает за наклон прямой. Построим графики соответствующих решений с учётом ограничений:

Проанализируем ключевые случаи. При $a \in (-\infty; 0)$ прямая $y = ax$ не будет пересекать график гиперболы $y = \frac{6}{x}$, следовательно система будет иметь всего 2 решения.

Далее, после перехода значения параметра через $0$, система будет иметь уже целых $4$ решения, так как прямая $y = ax$ будет пересекать обе ветви гиперболы и прямые $y = -2, y = 1$. И так будет продолжаться до тех пор, пока прямая $y = ax$ не пересечёт графики функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = 1$ в их общей точке.

В этой ситуации система будет иметь ровно 3 решения, поэтому данный случай мы рассмотрим:

Найдём точку пересечения прямой $y = 1$ с гиперболой $y = \frac{6}{x}$:

$$\frac{6}{x} = 1 \Leftrightarrow x = 6$$

Точка пересечения: $(6; 1)$

Подставим координаты точки в уравнение прямой $y = ax$: $$1 = a\cdot6 \Leftrightarrow a = \frac{1}{6}$$

После этой точки, мы снова будем получать по $4$ решения исходной системы, пока прямая $y = ax$ не пересечёт общую точку гиперболы $y = \frac{6}{x}$ и прямой $y = -2$.

В этой точке исходная система снова будет иметь ровно 3 решения. После перехода через эту точку система также будет иметь ровно 3 решения, так как прямая $y = ax$ будет пересекать только правую ветвь гиперболы $y = \frac{6}{x}$ и прямые $y = -2, y = 1$.

Значит, начиная с этой точки и до $+\infty$ все значения параметра $a$ мы берём в ответ. Найдём точку пересечения гиперболы $y = \frac{6}{x}$ и прямой $y = -2$:

$$-2 = \frac{6}{x} \Leftrightarrow x -3$$ Подставим координаты точки в уравнение $y = ax$: $$-2 = a\cdot(-3) \Leftrightarrow a = \frac{2}{3}$$

Ответ: $\left\{\frac{1}{6}\right\} \cup \left[\frac{2}{3}; +\infty\right)$