Тип 15 № 11143

Преобразуем числитель и знаменатель: $$\text{Числитель: } 2\cdot3^{2x+1} - 7\cdot6^x + 2\cdot4^x = 6\cdot9^x - 7\cdot6^x + 2\cdot4^x$$ $$\text{Знаменатель: } 3\cdot9^x - 2\cdot6^x$$ Имеем: $$\frac{6\cdot9^x - 7\cdot6^x + 2\cdot4^x}{3\cdot9^x - 2\cdot6^x} \leq 1$$

Разделим числитель и знаменатель на $4^x > 0$ и сделаем замену $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x > 0$: $$\frac{6t^2 - 7t + 2}{3t^2 - 2t} \leq 1$$

Перенесем все в левую часть: $$\frac{6t^2 - 7t + 2 - 3t^2 + 2t}{3t^2 - 2t} \leq 0 \Rightarrow \frac{3t^2 - 5t + 2}{t(3t - 2)} \leq 0$$

Разложим числитель: $$\frac{(3t - 2)(t - 1)}{t(3t - 2)} \leq 0$$

Решение: $$0 < t \leq 1, \quad t \neq \frac{2}{3}$$

Возвращаемся к x: $$0 < \left(\frac{3}{2}\right)^x \leq 1 \Leftrightarrow 0 < \left(\frac{3}{2}\right)^x \leq \left(\frac{3}{2}\right)^0\Rightarrow x \leq 0$$ $$\left(\frac{3}{2}\right)^x \neq \frac{2}{3} \Rightarrow x \neq -1$$

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0]$