Показательные неравенства заменой

Сделаем замену $3^x = t > 0$, $t \neq 27$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t^2 + 2t - 117}{t - 27} \leq 1$$

Перенесём 1 в левую часть: $$\frac{t^2 + 2t - 117 - (t - 27)}{t - 27} \leq 0$$ $$\frac{t^2 + t - 90}{t - 27} \leq 0$$

Разложим числитель на множители: $$\frac{(t + 10)(t - 9)}{t - 27} \leq 0$$

Учитывая, что $t = 3^x > 0$, решение неравенства: $$\begin{cases} t \geq 9\\ t < 27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3^x \geq 9\\ 3^x < 27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 2\\ x < 3 \end{cases}$$

Ответ: $x \in [2; 3)$

Упростим числитель и знаменатель: $$3^{2-x} = \frac{9}{3^x}$$ Сделаем замену $3^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{2t - \frac{90}{t}}{t - \frac{9}{t}} \geq 1$$ Умножим числитель и знаменатель на $t$: $$\frac{2t^2 - 90}{t^2 - 9} \geq 1$$ Перенесём 1 в левую часть: $$\frac{2t^2 - 90 - (t^2 - 9)}{t^2 - 9} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 81}{t^2 - 9} \geq 0$$ Разложим числитель и знаменатель на множители: $$\frac{(t - 9)(t + 9)}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; -9) \cup (-3; 3) \cup [9; +\infty)$$ Учитывая, что $t = 3^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t < 3 \\ &t \geq 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3^x < 3 \\ &3^x \geq 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x < 1 \\ &x \geq 2 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup [2; +\infty)$

Сделаем замену $3^x = t > 0$, $t \neq 1$. Тогда неравенство примет вид: $$t - \frac{702}{t - 1} \geq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t(t - 1) - 702}{t - 1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - t - 702}{t - 1} \geq 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(t - 27)(t + 26)}{t - 1} \geq 0$$

Учитывая, что $t = 3^x > 0$, решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &0 < t < 1 \\ &t \geq 27 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3^x < 1 \\ &3^x \geq 27 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x < 0 \\ &x \geq 3 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [3; +\infty)$

Сделаем замену $3^x = t > 0$, $t \neq 36$. Тогда неравенство примет вид: $$t + \frac{243}{t - 36} \geq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t(t - 36) + 243}{t - 36} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 36t + 243}{t - 36} \geq 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(t - 27)(t - 9)}{t - 36} \geq 0$$

Учитывая, что $t = 3^x > 0$, решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &9 \leq t \leq 27 \\ &t > 36 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &9 \leq 3^x \leq 27 \\ &3^x > 36 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2 \leq x \leq 3 \\ &x > \log_3 36 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in [2; 3] \cup (\log_3 36; +\infty)$

Сделаем замену $3^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$1 + \frac{14}{t - 9} + \frac{48}{t^2 - 18t + 81} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 18t + 81 + 14(t - 9) + 48}{(t - 9)^2} \geq 0$$ $$\frac{t^2 - 4t + 3}{(t - 9)^2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(t - 1)(t - 3)}{(t - 9)^2} \geq 0$$

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} t \geq 3 \\ t \neq 9 \end{cases}\\ &\begin{cases} t \leq 1 \\ t > 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 3^x \geq 3 \\ 3^x \neq 9 \end{cases}\\ &\begin{cases} 3^x \leq 1 \\ 3^x > 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \geq 1\\ x \neq 2 \end{cases}\\ &x \leq 0 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [1; 2) \cup (2; +\infty)$