Тип 15 № 11156

Сделаем замену $t = 9^x - 2 \cdot 3^x$. Тогда неравенство примет вид: $$t^2 - 62t - 63 \geq 0 \Leftrightarrow (t - 63)(t + 1) \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \leq -1 \quad \text{или} \quad t \geq 63$$

Сделаем обратную замену: $$\left[\begin{aligned} &9^x - 2 \cdot 3^x \leq -1 \\ &9^x - 2 \cdot 3^x \geq 63 \end{aligned}\right.$$

Рассмотрим первое неравенство: $$9^x - 2 \cdot 3^x + 1 \leq 0 \Leftrightarrow (3^x - 1)^2 \leq 0$$ Так как квадрат выражения всегда неотрицателен, равенство достигается только при: $$3^x - 1 = 0 \Leftrightarrow 3^x = 1 \Leftrightarrow x = 0$$

Рассмотрим второе неравенство: $$9^x - 2 \cdot 3^x - 63 \geq 0$$ Сделаем замену $a = 3^x > 0$: $$a^2 - 2a - 63 \geq 0 \Leftrightarrow (a - 9)(a + 7) \geq 0$$

Учитывая, что $a = 3^x > 0$, получаем: $$a \geq 9 \Leftrightarrow 3^x \geq 9 \Leftrightarrow x \geq 2$$

Объединяя решения: $$x = 0 \quad \text{или} \quad x \geq 2$$

Ответ: $x \in \{0\} \cup [2; +\infty)$