Тип 15 № 11162

Преобразуем числитель и знаменатель: $$6^x - 4\cdot3^x = 3^x(2^x - 4)$$ $$x\cdot2^x - 5\cdot2^x -4x + 20 = 2^x(x - 5) -4(x - 5) = (x - 5)(2^x - 4)$$

Неравенство принимает вид: $$\frac{3^x(2^x - 4)}{(x - 5)(2^x - 4)} \leq \frac{1}{x - 5}$$

Упрощаем, учитывая $2^x - 4 \neq 0$ (т.е. $x \neq 2$): $$\frac{3^x}{x - 5} \leq \frac{1}{x - 5}$$

Переносим все в левую часть: $$\frac{3^x - 1}{x - 5} \leq 0$$ $$\frac{3^x - 3^0}{x - 5} \leq 0$$ По методу рационализации: $$\frac{x}{x - 5} \leq 0$$

Ответ: $x \in [0; 2) \cup (2; 5)$