Показательные неравенства группировка и рационализация

Преобразуем исходное неравенство: $$27 \cdot 45^x - 27 \cdot 27^x - 12 \cdot 15^x + 12 \cdot 9^x + 5^x - 3^x \leq 0$$ $$27 \cdot 9^x \cdot 5^x - 27 \cdot 27^x - 12 \cdot 3^x \cdot 5^x + 12 \cdot 9^x + 5^x - 3^x \leq 0$$ $$27 \cdot 9^x (5^x - 3^x) - 12 \cdot 3^x (5^x - 3^x) + (5^x - 3^x) \leq 0$$ Упростим выражение: $$(5^x - 3^x)(27 \cdot 9^x - 12 \cdot 3^x + 1) \leq 0$$ Разделим обе части неравенства на $3^x > 0$: $$\left(\left(\frac{5}{3}\right)^x - 1\right)(27 \cdot 9^x - 12 \cdot 3^x + 1) \leq 0$$ $$\left(\left(\frac{5}{3}\right)^x - 1\right)\left(3^x - \frac{1}{3}\right)\left(3^x - \frac{1}{9}\right) \leq 0 \Leftrightarrow \left(\left(\frac{5}{3}\right)^x - 1\right)\left(3^x - 3^{-1}\right)\left(3^x - 3^{-2}\right) \leq 0$$

По методу рационализации: $$x(x + 1)(x + 2) \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 0]$$

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 0]$

Преобразуем числитель и знаменатель: $$6^x - 4\cdot3^x = 3^x(2^x - 4)$$ $$x\cdot2^x - 5\cdot2^x -4x + 20 = 2^x(x - 5) -4(x - 5) = (x - 5)(2^x - 4)$$

Неравенство принимает вид: $$\frac{3^x(2^x - 4)}{(x - 5)(2^x - 4)} \leq \frac{1}{x - 5}$$

Упрощаем, учитывая $2^x - 4 \neq 0$ (т.е. $x \neq 2$): $$\frac{3^x}{x - 5} \leq \frac{1}{x - 5}$$

Переносим все в левую часть: $$\frac{3^x - 1}{x - 5} \leq 0$$ $$\frac{3^x - 3^0}{x - 5} \leq 0$$ По методу рационализации: $$\frac{x}{x - 5} \leq 0$$

Ответ: $x \in [0; 2) \cup (2; 5)$

Преобразуем исходное неравенство: $$3^{2x} \cdot 5^x - 3^{3x} - 18 \cdot 3^x \cdot 5^x + 18 \cdot 3^{2x} + 81 \cdot 5^x - 81 \cdot 3^x \leq 0$$ $$3^{2x}(5^x - 3^x) - 18 \cdot 3^x(5^x - 3^x) + 81(5^x - 3^x) \leq 0$$ $$(5^x - 3^x)(3^{2x} - 18 \cdot 3^x + 81) \leq 0$$ $$(5^x - 3^x)(3^x - 9)^2 \leq 0$$

Разделим обе части неравенства на $3^x > 0$: $$\left(\left(\frac{5}{3}\right)^x - 1\right)(3^x - 9)^2 \leq 0 \Leftrightarrow \left(\left(\frac{5}{3}\right)^x - \left(\frac{5}{3}\right)^0\right)(3^x - 3^2)^2 \leq 0$$

По методу рационализации: $$\left(\frac{5}{3} - 1\right)(x - 0)(3 - 1)^2(x - 2)^2 \leq 0$$ $$\frac{2}{3} \cdot x \cdot 4 \cdot (x - 2)^2 \leq 0$$ $$x(x - 2)^2 \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; 0] \cup \{2\}$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup \{2\}$

Преобразуем неравенство: $$6^{x^2} - 4^x \cdot 3^{x^2} \leq 81 \cdot 2^{x^2} - 81 \cdot 4^x$$ $$(2 \cdot 3)^{x^2} - 4^x \cdot 3^{x^2} \leq 81(2^{x^2} - 4^x)$$ $$2^{x^2} \cdot 3^{x^2} - 4^x \cdot 3^{x^2} \leq 81(2^{x^2} - 4^x)$$ $$3^{x^2}(2^{x^2} - 4^x) \leq 81(2^{x^2} - 4^x)$$ $$(3^{x^2} - 81)(2^{x^2} - 4^x) \leq 0$$ По методу рационализации: $$(3^{x^2} - 3^4)(2^{x^2} - 2^{2x}) \leq 0$$ $$(x^2 - 4)(x^2 - 2x) \leq 0$$ $$(x - 2)(x + 2)x(x - 2) \leq 0$$ $$(x + 2)x(x - 2)^2 \leq 0$$

Ответ: $x \in [-2; 0] \cup \{2\}$

Преобразуем исходное неравенство: $$2\cdot4^x \cdot 5^x - 17\cdot2^x \cdot 5^x - 2\cdot2^{3x} + 8\cdot5^x + 17\cdot2^{2x} - 8\cdot2^x \leq 0$$ $$2\cdot2^{2x} \cdot 5^x - 17\cdot2^x \cdot 5^x - 2\cdot2^{3x} + 8\cdot5^x + 17\cdot2^{2x} - 8\cdot2^x \leq 0$$ $$2^{2x}(2\cdot5^x - 2\cdot2^x) - 2^x(17\cdot5^x - 17\cdot2^x) + 8(5^x - 2^x) \leq 0$$ $$(5^x - 2^x)(2\cdot2^{2x} - 17\cdot2^x + 8) \leq 0$$ $$(5^x - 2^x)(2^{x} - 8)(2^{x} - \tfrac{1}{2}) \leq 0$$ Разделим обе части неравенства на $2^x > 0$: $$\left(\frac{5^x}{2^x} - 1\right)(2^{x} - 2^3)\left(2^{x} - 2^{-1}\right) \leq 0 \Leftrightarrow \left(\left(\frac{5}{2}\right)^x - \left(\frac{5}{2}\right)^0\right)(2^{x} - 2^3)(2^{x} - 2^{-1}) \leq 0$$ По методу рационализации: $$\left(\frac{5}{2} - 1\right)(x - 0)(2 - 1)(x - 3)(2 - 1)(x + 1) \leq 0$$ $$x(x - 3)(x + 1) \leq 0$$

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [0; 3]$