Тип 15 № 11175

Сделаем замену $3^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{13}{t - 81} \leq \frac{1}{t - 9}$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{13}{t - 81} - \frac{1}{t - 9} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{13(t - 9) - (t - 81)}{(t - 81)(t - 9)} \leq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{13t - 117 - t + 81}{(t - 81)(t - 9)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{12t - 36}{(t - 81)(t - 9)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{12(t - 3)}{(t - 81)(t - 9)} \leq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; 3] \cup (9; 81)$$ Учитывая, что $t = 3^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t \leq 3 \\ &9 < t < 81 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3^x \leq 3 \\ &9 < 3^x < 81 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \leq 1 \\ &2 < x < 4 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup (2; 4)$