Тип 15 № 11184

Преобразуем исходное неравенство: $$3^{2x} \cdot 5^x - 3^{3x} - 18 \cdot 3^x \cdot 5^x + 18 \cdot 3^{2x} + 81 \cdot 5^x - 81 \cdot 3^x \leq 0$$ $$3^{2x}(5^x - 3^x) - 18 \cdot 3^x(5^x - 3^x) + 81(5^x - 3^x) \leq 0$$ $$(5^x - 3^x)(3^{2x} - 18 \cdot 3^x + 81) \leq 0$$ $$(5^x - 3^x)(3^x - 9)^2 \leq 0$$

Разделим обе части неравенства на $3^x > 0$: $$\left(\left(\frac{5}{3}\right)^x - 1\right)(3^x - 9)^2 \leq 0 \Leftrightarrow \left(\left(\frac{5}{3}\right)^x - \left(\frac{5}{3}\right)^0\right)(3^x - 3^2)^2 \leq 0$$

По методу рационализации: $$\left(\frac{5}{3} - 1\right)(x - 0)(3 - 1)^2(x - 2)^2 \leq 0$$ $$\frac{2}{3} \cdot x \cdot 4 \cdot (x - 2)^2 \leq 0$$ $$x(x - 2)^2 \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; 0] \cup \{2\}$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup \{2\}$