Тип 16 № 11191

Сделаем замену $5^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$(5^3)^x - (5^2)^x + \frac{4\cdot(5^2)^x - 20}{5^x - 5} \leq 4 \Leftrightarrow t^3 - t^2 + \frac{4t^2 - 20}{t - 5} \leq 4$$ $$t^3 - t^2 + \frac{4(t^2 - 5)}{t - 5} - 4 \leq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{(t^3 - t^2)(t - 5) + 4(t^2 - 5) - 4(t - 5)}{(t - 5)} \leq 0$$ Раскроем скобки: $$\frac{t^4 - 5t^3 - t^3 + 5t^2 + 4t^2 - 20 - 4t + 20}{t - 5} \leq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{t^4 - 6t^3 + 9t^2 - 4t}{t - 5} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{t(t^3 - 6t^2 + 9t - 4)}{t - 5} \leq 0$$ $$\frac{t(t - 1)(t^2 -5t + 4)}{t - 5} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{t(t - 1)^2(t - 4)}{t - 5} \leq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; 0] \cup \{1\} \cup [4; 5)$$ Учитывая, что $t = 5^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &t = 1 \\ &4 \leq t < 5 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &5^x = 1 \\ &4 \leq 5^x < 5 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &\log_5 4 \leq x < 1 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in \{0\} \cup [\log_5 4; 1)$