Тип 15 № 11195

Преобразуем исходное неравенство: $$\frac{1}{2^x - 1} + \frac{2\cdot4^{x} - 32\cdot2^{x} + 4}{2^x - 16} \geq 2\cdot2^{x}$$

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{1}{t - 1} + \frac{2t^2 - 32t + 4}{t - 16} \geq 2t$$

Перенесём все слагаемые в левую часть:

$$\frac{1}{t - 1} + \frac{2t^2 - 32t + 4}{t - 16} - 2t \geq 0$$ $$\frac{(t - 16) + (2t^2 - 32t + 4)(t - 1) - 2t(t - 1)(t - 16)}{(t - 1)(t - 16)} \geq 0$$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$$\frac{t - 16 + 2t^3 - 2t^2 - 32t^2 + 32t + 4t - 4 - 2t^3 + 32t^2 + 2t^2 - 32t}{(t - 1)(t - 16)} \geq 0$$ $$\frac{5t - 20}{(t - 1)(t - 16)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{5(t - 4)}{(t - 1)(t - 16)} \geq 0$$

Решение неравенства:

$$t \in (1; 4] \cup (16; +\infty) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} t > 1\\ t \leq 4 \end{cases}\\ &t > 16 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 2^x > 1\\ 2^x \leq 4 \end{cases}\\ &2^x > 16 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x > 0\\ x \leq 2 \end{cases}\\ &x > 4 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (0; 2] \cup (4; +\infty)$